¿Cuál es el límite de mcd (1! + 2! + ... + (n-1)!, N!)?

Question

Deje $s_n = \sum_{i=1}^{n-1} i!$ y deje $g_n = \gcd (s_n, n!)$. Entonces es fácil ver que $g_n$ divide $g_{n+1}$. El primer par de valores de $g_n$, a partir de $n=2$ se $1, 3, 3, 3, 9, 9, 9, 9, 9, 99$ donde $g_{11}=99$. A continuación, $g_n=99$ para $11\leq n\leq 100,000$.

Tenga en cuenta que si $n$ divide $s_n$,, a continuación, $n$ divide $g_m$ para todos los $m\geq n$. Si $n$ no divide $s_n$,, a continuación, $n$ no divide $s_m$ cualquier $m\geq n$.

Si $p$ es un primer dividiendo $g_n$ pero no dividiendo $g_{n-1}$ entonces $p=n$, para los si $p<n$ entonces $p$ divide $(n-1)!$ y, por tanto, $p$ divide $s_n-(n-1)!=s_{n-1}$, de donde $p$ divide $g_{n-1}$.

Así que para mostrar que $g_n\rightarrow \infty$ es suficiente para demostrar que existen infinitos números primos $p$ tal que $1!+2!+\cdots +(p-1)! \equiv 0$ (mod $p$).

Answer 1

Una observación divertida (pero quizás inútil): la propiedad$1! + \ldots + (p-1)! = 0 \hbox{ mod } p$ también es equivalente a la propiedad del producto matriz

PS

Otra reformulación: si$$\left( \begin{array}{ll} 1 & 1 \\\ 0 & 1 \end{array} \right) \begin{pmatrix} 2 & 1 \\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ldots \begin{pmatrix} p & 1 \\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \hbox{ mod } p.$ es el mapa$f: F_p \times F_p \to F_p$, entonces$f(x,y) := (x-1,xy+1)$, donde$f^p(0,0) = (0,1)$ es la iteración p-fold de f.

Una tercera reformulación:$f^p$ (suponiendo que p es impar).

Answer 2

Esto está tan cerca de la Kurepa conjetura que afirma que $\gcd\left(\sum_{k=0}^{n-1}k!,n!\right)=2$ para todos los $n\geq 2$, que se instaló en el año 2004 por D. Barsky y B. Benzaghou "Nombres de Bell et somme de factorielles". Así que lo que demostró es que el $K(p)=1!+\cdots+(p-1)!\neq -1\pmod{p}$ para cualquier extraño prime $p$. Esto va en contra de Kevin Buitre de la heurística que $K(p)$ es aleatorio mod $p$. Permítanme mencionar dos maneras que usted puede reafirmar el hecho de $p|K(p)$:

a) es equivalente a $K(\infty)=\sum_{k=1}^{\infty}k!$ no ser una unidad en $\mathbb Z_p$.

b) es equivalente a $\mathcal B_{p-1}=2\pmod{p}$ donde $\mathcal{B} _n$ es el $n$th Campana número. (Es fácil mostrar que $\mathcal B _{p}=2\pmod{p}$)

Se me olvidó mencionar que la conjetura de que $p>11$ no divide $K(p)$ está en cuestión B44 de R. Chico "Problemas sin resolver en la teoría de los números".

Answer 3

Aquí está mi suposición: podría estar fuera del alcance demostrar que$g_n$ tiende al infinito, pero probablemente lo haga, porque$1!+2!+\ldots+(p-1)!$ es un número "aleatorio" mod$p$, por lo que las posibilidades de que es divisible por$p$ es aproximadamente$1/p$, y la suma de los recíprocos de los primos diverge. Esto no es una prueba de nada, pero es una heurística que indica que probablemente el$g_n$ diverge. [¡Por supuesto, puede haber otras heurísticas que sugieran que no!]

Answer 4

El estado actual de búsqueda es que$g_n=99$ para$11\leq n\leq 10,000,000,000$. Mencionaré que la conjetura de Kurepa, lo que significa que$s_p\neq -1\pmod p$ se cumple para números primos impares$p$, es verdadera para$p<10^{10}$. Es interesante que$s_p=1\pmod p$ se mantenga para$p=6,855,730,873$, y esta es la primera prima después de$p=31$ y$p=373$.

Buscando un contraejemplo de la conjetura de Kurepa, arXiv: 1409.0800 [math.NT]