¿El análogo topológico de la planitud?

Question

Recuerda que un mapa de $f:X\to Y$ de los planes se llama plano iff para cualquier $x\in X$ el anillo de $O_{X,x}$ es un plano $O_{Y,f(x)}$-módulo. Brevemente, la pregunta es: ¿cuál es la topológico analógico de esto?

Muchas nociones y construcciones en el esquema de la teoría obvio topológico homólogos (que probablemente fueron la inspiración, al menos en algunos casos, pero yo no soy un historiador de decir esto, por cierto). El encolado de los esquemas es análoga a la pegadura suave colectores de copias de Euclídea bolas. Correcto, \'etale y suave morfismos todos tienen evidentes topológico análogos: estos son propias de los mapas, local homeomorphisms y suave mapas de suave colectores tal que el diferencial en cada punto es surjective (inundaciones). Separada esquema es el análogo de un espacio de Hausdorff. Por otra parte, en todos estos casos parece claro que solo hay una manera de traducir la correspondiente noción topológica en el lenguaje de los esquemas.

Plana morfismos parece más complicado (para mí). Soy consciente de que una de las dos interpretaciones. Uno es demasiado vaga ("un mapa tal que el preimages de puntos no varían demasiado salvajemente"). El otro ("un Serre fibration") no es completamente satisfactoria: todas las fibras de un Serre fibration son homotopy equivalentes y que incluso homeomórficos si el fibration es localmente trivial. Sin embargo, hay un montón de mapas planos que no se parezcan a Serre fibrations a todos: por ejemplo, la proyección de la unión de las líneas de $x=\pm y$ en el avión en el $x$-eje.

Una manera de hacer la pregunta de arriba un poco más precisa es esta: ¿hay una manera de definir la noción de un "plano" del mapa (lo suficientemente agradable espacios topológicos, dicen suave colectores o CW complejos o poliedros) en términos de topología o la geometría diferencial, de modo que cuando $X(\mathbf{C})$ e $Y(\mathbf{C})$ son los conjuntos de puntos cercanos de variedades (= reducción separados esquemas de finito tipo) $X$ e $Y$ sobre $\mathbf{C}$ una de morfismos $X\to Y$ es plano si y sólo si se induce mapa de $X(\mathbf{C})\to Y(\mathbf{C})$ de los espacios topológicos es "topológicamente" plana? Tal vez esto es demasiado pedir, en cuyo caso yo estaría interesado en saber si existe una variación de este que tiene.

Un obvio adivinar: uno debe tomar la noción de una inmersión y relajarse, pero no estoy seguro de cómo.

Answer 1

Aquí está una declaración que va en la dirección que usted está buscando:

Al $X$ e $Y$ son suaves variedades de más de $\mathbb C$,, a continuación, $f$ es plano si y sólo si cada fibra de $f$ tiene dimensión $\dim X - \dim Y$.

Esto es tal vez no es tan conocido como debería ser; he aprendido como estudiante en mi geometría algebraica clase impartida por Jens Franke. Yo también estaría encantado si alguien me pudiera decir una referencia, como Jens Franke no parece ser la planificación para convertir sus notas de la conferencia en un libro...

(Aquí hay un ejemplo de una de las varias afirmaciones precisas demostró: Deje $f \colon X \to Y$ ser una de morfismos de finito tipo entre localmente Noetherian prescheme, de tal manera que $X$ es Cohen-Macaulay y $Y$ es regular. A continuación, $f$ es plano si cualquiera de las siguientes dos condiciones se tiene:

1. Para cada irreductible cerrado subconjunto $Z \subset Y$ y cada componente irreducible $Z'$ de % de $f^{-1}(Z)$ tenemos $\mathrm{codim}(Z', X) = \mathrm{codim}(Z, Y)$
2. $Y$ es `equicodimensional", $f$ mapas de puntos cercanos a puntos cercanos, y todos los no-vacío de fibra de $f$ tiene dimensión $\dim X - \dim Y$.

Aquí `equicodimensional" significa que cada punto cerrado tiene el mismo codimension.)

Answer 2

Un comentario inmediato es que, en el caso de lisa colectores, la noción de que se sugieren, es necesario tener en cuenta más que la estructura diferenciable de $X$ e $Y$: cualquiera de los dos liso, conectado, las curvas de un mismo género $g \geq 2$ son diffeomorphic, pero hay un plano de morfismos (en el sentido usual de la palabra) entre ellos, si y sólo si son isomorfos como complejo de variedades. Ya hay una familia con $3g-3$ parámetros de estructuras complejas en las curvas de género $g$, no parece ser la necesidad de más de una estructura codificada en la noción de un análogo de la planitud.

En el lado positivo, siempre he pensado que Morse funciones tienen un tacto similar a la plana de morfismos: mientras que no parecen preservar la "numérico", personaje de tv de funciones (por ejemplo, las fibras pueden brotar fuera de componentes adicionales), sin embargo, lograron imponer un cierto límite en las variaciones de las fibras. Más concretamente, si $X$ se compone de $g+1$ distintos círculos en el plano con centros a lo largo de la $x$-eje (dos de los cuales están contenidos en uno con el otro) y $Y$ es el $x$-eje, entonces tiendo a pensar que la proyección de $X$ a de la $x$-eje de la "imagen real" de la licenciatura de dos morfismos de una curva de género $g$ a $\mathbb{P}^1$. En este caso, la proyección de una función de Morse y los morfismos creo que es un plano de morfismos!

Para hacer la analogía más precisa, probablemente habría de imponer alguna condición en los puntos críticos a tener en cuenta el "automático orientability" del caso complejo: no estoy seguro de que yo considero un "plano" de un Morse función de $S^1$ a $\mathbb{R}$ tener más de dos puntos críticos. Esto podría darle una forma de "curar" el problema con los componentes adicionales que aparecen en las fibras.