La historia de Milnor demostrando el teorema Fáry-Milnor

Question

Esta pregunta es similar a una anterior sobre "leyendas urbanas" pero no es lo mismo. Está establecido que Milnor demostró el teorema Fáry-Milnor como estudiante en Princeton. Para que conste, Fáry fue profesor en Francia y demostró el resultado de forma independiente. Milnor tiene un artículo de autoría exclusiva en los Anales que reconoce a Fáry. El problema había sido planteado por Borsuk en 1947. En la versión de Milnor del teorema, la curvatura total infima de cualquier nudo liso es igual a su número de puente. Hay muchas historias de que Milnor pensó que era un problema de deberes o una pregunta de examen, que llegó a clase tarde y lo resolvió en el acto, etc. Mi pregunta es: ¿hay alguna prueba fehaciente de que cuando Milnor resolvió este problema, pensara que era algo más que un problema abierto? No me interesan tanto las respuestas con "nombres ocultos para evitar la vergüenza", ni tampoco las divagaciones o respuestas malintencionadas. Estoy más interesado en una cita convincente, ya sea para imprimir o para una persona nombrada. (Como el propio Milnor, aunque está en su derecho de no hablar del asunto). Francamente, creo que algunas versiones de esta historia de Milnor son un poco insípidas. Al menos en mi opinión, me gustaría tenerla de forma más digna, si es que es cierta.

---

La respuesta de "ninguno" es muy buena y al principio la acepté. Pero cuando revisé el libro de Nasar, para mi sorpresa no deja de lado la cuestión. Nasar dice que Milnor, siendo estudiante de primer año, mostró la prueba a su profesor de geometría diferencial Albert Tucker con la petición: "¿Tendría usted la bondad de señalar el fallo de este intento? Estoy seguro de que hay uno, pero no lo encuentro". (Tucker pasó entonces la prueba a Fox y Chern.) No tendría sentido que Milnor dijera esto si realmente pensara que era una tarea. Pero Nasar también contradice esta inferencia con la afirmación: "Se dice que Milnor confundió la conjetura con una tarea". Para esta afirmación cita crípticamente los "Archivos de la Universidad de Princeton".

Además de las pruebas contradictorias, la historia del error en los deberes atribuida a Milnor es también sospechosamente similar a la historia confirmada sobre Dantzig.

---

Actualización: Envié un correo electrónico a Milnor y obtuve una breve respuesta que comienza así: "Me parece una pena contradecir un cuento tan agradable; pero para mi versión vea..." Tal y como yo lo veo, la historia de que Milnor confundió la conjetura de curvatura de Borsuk con los deberes ha muerto ya tres veces: (1) Milnor dice que no es verdad. (2) No es consistente ni con el relato de Milnor ni con el de Tucker sobre lo que ocurrió. (3) Es similar a una historia real sobre Dantzig que ha mutado y que también se ha pegado a otros matemáticos, como por ejemplo Fefferman.

En 1991, Tucker dijo que "como una broma de mal gusto", calificó la conjetura de Borsuk como "una asignación". Pero esto es 40 años después del hecho, cuando la historia ya estaba enturbiada por la historia mutante que comenzó con Dantzig. En realidad no es necesariamente tan malo, si es que ocurrió, porque debería haber quedado claro por el contexto que sólo era una broma.

Milnor me remitió a un breve relato autobiográfico, "Growing up in the Old Fine Hall". Esta versión de la historia dice que Tucker discutió por primera vez el teorema de Fenchel de que la curvatura total de cualquier círculo topológico es al menos $2\pi$ y luego expuso la conjetura de Borsuk; unos días después Milnor tenía un borrador de una prueba. Este relato hace más hincapié en las matemáticas que en el drama humano. Aun así, no es coherente con la historia de "pensaba que era una tarea".

En varias fuentes (muchas de ellas proporcionadas en la segunda respuesta por "ninguno" más abajo), Tucker da una cuenta consistente de que Milnor primero pensó que su prueba era incorrecta y le pidió a Tucker que encontrara el error. Este detalle está decididamente ausente en los relatos publicados por Milnor. Obviamente, le pidió a Tucker que comprobara su prueba; eso podría confundirse fácilmente con estar seguro de que hay un error. Tal vez sólo había dos personas; yo lo dejaría en que uno de ellos lo dice y el otro no lo dice.

He vuelto a aceptar la primera respuesta dada por "ninguno" ya que es la mayor parte de la historia.

---

Finalmente el verdadero caso de Dantzig. Una de las razones por las que esta historia es tan conocida, y una razón por la que ha mutado tanto y se ha vuelto un poco hortera, comenzó con una coincidencia en un viaje en avión hacia o desde California. Dantzig estaba sentado junto al mega-reverendo Robert Schuller y le contó su historia. Schuller lo transmitió a su rebaño con algunas exageraciones tontas, y la historia llegó a muchas otras iglesias. Con el tiempo, el nombre de Dantzig desapareció de esta historia que se extendió sobre todo entre los no matemáticos. Así, sería fácil rellenar el nombre de algún otro matemático. Esta historia se cuenta en el libro "¡Maldición! Otra vez a la parrilla" (que al parecer lo sacó del College Mathematics Journal) Para que conste, en la versión real de la historia, Dantzig estaba en la escuela de posgrado en estadística, era 1939, llegó tarde a clase, vio dos problemas abiertos en la pizarra y pensó que eran deberes. El profesor era Neyman, que debía de ser un poco impenetrable para sus alumnos, porque no le dijo a Dantzig durante seis semanas lo que realmente había ocurrido.

Answer 1

La historia se cuenta con cierto detalle en "A Beautiful Mind" de Sylvia Nasar, una biografía de John Nash, que fue compañero de estudios de Milnor en un momento dado. En esa versión, Milnor sabía que la conjetura de Borsuk era un problema abierto; escribió su aparente respuesta sin creer que fuera correcta, y pidió a Fox que la revisara ya que él (Milnor) no había sido capaz de encontrar el error por sí mismo. Fox le dijo que escribiera el resultado para publicarlo; el resultado final se generalizó considerablemente respecto a la versión original. Es bastante probable que Nasar entrevistara a Milnor (debido a su conexión biográfica con Nash) mientras escribía el libro, por lo que su versión es probablemente la mejor que se puede encontrar.

La historia de "llegó tarde a clase y pensó que era un problema de deberes" se refiere a George Dantzig y es fácil de encontrar en Internet (por ejemplo, en Wikipedia o en Snopes). Se trataba de algún problema de estadística. Creo que en realidad puede haber habido dos problemas abiertos involucrados.

A veces la historia de Dantzig se cuenta con SEIS problemas abiertos. Eso podría confabularse con la tesis doctoral de Grothendieck. Dieudonné y Schwartz habían escrito un trabajo sobre el análisis funcional que terminaba con seis problemas abiertos aparentemente difíciles. Se los entregaron a Grothendieck diciéndole algo así como "mira si puedes hacer algún progreso en alguno de ellos, y eso puede ser tu tesis". Al cabo de unos meses, Grothendieck desarrolló la teoría de los espacios nucleares, que convirtió los seis problemas en cálculos triviales, y básicamente acabó con la dirección de investigación propuesta originalmente (al resolverla por completo). Esta historia está sacada del perfil biográfico de Grothendieck de Allyn Jackson en Notices of the AMS, creo.

Answer 2

Supongo que mi recuerdo del contenido del libro de Nasar era ligeramente incompleto. He encontrado algunas fuentes más buscando en Google:

1. Ed Regis "Who Got Einstein's Office" (una historia de IAS) menciona el incidente brevemente como parte de una discusión más larga sobre Milnor. No dice nada sobre los deberes.

2. Este es probablemente el mejor: http://dspace.sunyconnect.suny.edu/bitstream/1951/37717/1/Stony%20Brook%20Press%20V.%2012,%20N.%2015.PDF Es un escaneo de un periódico de Stony Brook, en cuya página 2 hay un artículo sobre un simposio que conmemora el 60º aniversario de Milnor. Cita al propio Tucker contando la historia de la solución de Milnor. Parece que Tucker describió la conjetura en su clase como abierta, pero sugirió en broma que era una tarea para casa. Tal vez ese sea el origen de la historia de los "deberes". Menciona que Milnor le dio a Tucker su solución sólo 3 días después.

3. En Mathforums.org alguien ha publicado un correo electrónico del hijo de Tucker, que difiere del anterior en algunos detalles: http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=1186409&tstart=0

4. También aparece en un artículo del Princeton Alumni Weekly de 1958. Este no es tan bueno; su principal interés es que proviene de hace tanto tiempo. http://www.princeton.edu/~mudd/finding_aids/mathoral/pmcxpaw.htm#boywonders

5. Esta charla (de su página web) no menciona el incidente en absoluto, pero tiene algunas anécdotas no relacionadas en la sección de preguntas y respuestas: http://www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/index.html Lo menciono porque me hace suponer que probablemente no le importe hablar de este tipo de historias.

Alguien debería enviar un correo electrónico a Milnor para hacerle saber que se está hablando de él aquí (es un poco descortés que hagamos esto sin informarle).

Answer 3

Consulte este video de una conferencia de Milnor de 1965 (que por cierto es genial). En el minuto 2:00 el presentador menciona la historia de los deberes. Pensé que sería el documento definitivo, ya que Milnor sube al escenario, le agradece sus amables comentarios y dice algo así como que no, que en realidad no era así... Pero sube al escenario y sus primeras palabras son "Para empezar a hablar de topología diferencial tengo que dar primero algunas definiciones..."

Oh, bueno...