¿Por qué la meraología no ha tenido éxito como alternativa a la teoría de conjuntos?

Question

He ejecutado recientemente en este artículo de la wikipedia en mereology. Yo estaba sorprendido de que yo nunca había oído hablar de él antes, y de hecho parece ser rara vez se menciona en la literatura matemática. A diferencia de la teoría de conjuntos, que se fundamenta en la idea de la pertenencia, mereology está construido sobre lo que considero conceptualmente más elemental, a saber, la relación entre las partes y el todo.

Personalmente, siempre he encontrado un poco insatisfactorio (filosóficamente hablando) el hecho de que la teoría postula la existencia de un conjunto vacío. Pero, por supuesto, no es el aspecto técnico y actual axiomatizations de la teoría de conjuntos parecen ser bastante bueno con respecto a lo que nos permite demostrar.

Ahora parece que ha habido algunos intentos de relacionar mereology y la teoría de conjuntos, y de acuerdo con el artículo, algunos autores recientemente han tratado de deducir de los axiomas ZFC como teoremas en ciertos axiomatizations de ella. Sin embargo, al parecer, sólo un par de bien entrenado matemáticos (uno de ellos Tarski) han discutido mereology, ya que la mayoría de las personas han mostrado indiferencia hacia el tema.

Así que mis preguntas son: ¿cómo es que mereology no tuvo éxito como una posible base para las matemáticas? Son axiomatizations basado en mereology no es adecuado para la mayoría de los acontecimientos o, simplemente, no vale la pena? Si es así, cual sería la razón técnica detrás?

Answer 1

Durante mucho tiempo he encontrado esta pregunta muy interesante, y en algunos reciente trabajo conjunto con Makoto Kikuchi, disponible ahora, hemos de considerar varios aspectos de la cuestión de si un conjunto teórico de la versión de mereology puede formar una base de matemáticas. En particular, para nuestra tesis principal se argumenta que la comprensión particular de mereology por medio de la relación de inclusión $\subseteq$ no puede, por sí mismo, constituyen la base de las matemáticas.

Joel David Hamkins y Makoto Kikuchi, Conjunto teórico mereology, la Lógica y la Lógica de la Filosofía, la edición especial "Mereology y más allá, parte II", vol. 25, iss. 3, pp 285-308, 2016. arxiv.org/abs/1601.06593, (blog post).

Resumen. Consideramos un conjunto teórico de la versión de mereology basado en la relación de inclusión $\newcommand\of{\subseteq}\of$ analizar la manera en que bien podría servir como fundamento de las matemáticas. Después de establecer la no-definability de $\in$ de $\of$, pasamos a identificar a los naturales de axiomas para $\of$basado en mereology, que constituyen un finitely axiomatizable, completa, decidable teoría. En última instancia, por estas razones, llegamos a la conclusión de que esta forma de conjunto de la teoría de la mereology no puede por sí misma servir como fundamento de las matemáticas. Mientras tanto, aumentada formas de establecer la teoría de la mereology, como el que se obtiene mediante la adición de la singleton operador, se foundationally robusto.

Por favor, siga a través de la arxiv para una versión en pdf del artículo.

La actualización. Aquí hay un enlace a un artículo de seguimiento:

Joel David Hamkins y Makoto Kikuchi, La inclusión de las relaciones de los contables de los modelos de la teoría de conjuntos son todos isomorfos, manuscrito en revisión. arxiv.org/abs/1704.04480, (blog post).

Resumen. Las estructuras de $\langle M,\newcommand\of{\subseteq}\of^M\rangle$ derivadas como la relación de inclusión de un modelo contable de conjunto suficiente de la teoría de $\langle M,\in^M\rangle$, si bien fundado o no, todos son isomorfos. Estas estructuras $\langle M,\of^M\rangle$ son exactamente los contables saturado de modelos de la teoría de conjunto de la teoría de la mereology: una desenfrenada atómica relativamente complementa distributiva de la celosía. Una muy débil de la teoría de conjuntos es suficiente, incluso finita de la teoría de conjuntos, a condición de que se excluye a la $\omega$-modelos estándar con ningún conjuntos infinitos y el $\omega$-modelos estándar de la teoría de conjuntos con un conjunto amorfo. Resultados análogos mantenga también para la clase de teorías, tales como Gödel-Bernays la teoría de conjuntos y Kelley-Morse de la teoría de conjuntos.

Y ver la cuestión, Hacer todo contables modelos de ZF con un conjunto amorfo tienen la misma relación de inclusión hasta el isomorfismo? Esa pregunta sigue siendo una cuestión abierta en el papel.

Answer 2

Parece que merece la pena señalar que Steve respuesta también esencialmente respuestas Carl Mummert de la pregunta (en un comentario) acerca de por qué uno no puede llegar a la teoría de conjuntos como una definición de la extensión de mereology mediante la definición de puntos (como cosas sin el adecuado partes) y, a continuación, el uso de "punto de $x$ es una parte del objeto $y$" como el mereological interpretación de $x\in y$. De hecho, puede usted manejar conjuntos de puntos, de esta manera, pero no hay una buena manera de manejar conjuntos de conjuntos. Mereology (al menos en Leśniewski la versión - no estoy familiarizado con otras versiones) haría ninguna diferencia entre una colección de conjuntos y la unión de los conjuntos. Creo que usted puede conseguir un poco más cerca de la teoría de conjuntos mediante la combinación (como Leśniewski hizo) mereology con la ontología, pero incluso entonces no creo que llegar a ninguna parte cerca de ZF. Para manejar algo así como el acumulado de jerarquía de ZF (o incluso de menor jerarquía de Russell-tipo de estilo de la teoría, creo), mereology tendría que ser complementado con alguna forma de tratar a los conjuntos como (nuevo) puntos, algo así como Frege la noción de Wertverlauf (que probablemente sería anatema para Leśniewski).

Answer 3

Lesniewski la idea era no sólo para reemplazar la teoría de conjuntos con mereology pero para construir completamente nueva de la fundación para las matemáticas, que constaba de tres sistemas:

• prototethics - la contraparte de la lógica proposicional
• ontología - que desde el punto de vista actual es de primer orden de la teoría de un predicado binario, esto podría ser más o menos se describe como una teoría de lo que es (pero no confundir con $\in$)
• mereology - nominalistically motivado la teoría de conjuntos.

Lesniewski de las motivaciones fueron en un principio filosófico en el espíritu. Escribe explícitamente que él no podía aceptar la idea de la clase de Russell y Whitehead o la noción de la extensión de un concepto de Frege es. Por otro lado, él no podía aceptar la existencia de la clase vacía. Uno de los más importantes, por decirlo así, el técnico motivaciones se de la paradoja de Russell.

Como para mereology (yo sé muy poco acerca de otros sistemas) Lesniewski original del sistema de axiomas (así como la introducida por Leonard y Goodman, bajo el nombre de cálculo de los individuos) es sin duda demasiado débil para reconstruir incluso un fragmento de la aritmética, por ejemplo. Esto fue demostrado por Tarski (en los años 30 del siglo anterior) que Lesniewski del mereology determinar las estructuras que tienen un parecido muy fuerte para completar álgebras Booleanas. Cada mereological estructura puede ser transformado en una completa Booleano celosía mediante la adición de elemento cero (su no-existencia es una consecuencia de los axiomas de mereology). Y viceversa, cada Booleano entramado puede ser convertida en (mutatis mutandis) un mereological estructura por eliminar el elemento cero. Así es, con mucho, demasiado pequeño para pensar en la reconstrucción de las matemáticas en este marco.

Sin embargo, como se dijo por Jeremy Shipley, hay algo de trabajo hacia la construcción de punto libre geométrica y topológica de los sistemas basados en mereology mejorado con algunos adicionales relación que, según su interpretación, es el modelo de la situación en la que las regiones están en contacto (o separado). Alfred Tarski él mismo fue uno de los primeros en hacer esto en sus Fundamentos de la geometría de los sólidos. Entonces, uno puede tratar de expresar la separación de los axiomas en el lenguaje de mereology además de conexión, o que requieren de algunas otras propiedades topológicas por medio de los axiomas de poner en conexión. Todos estos se puede hacer, sin embargo, con una aplicación de ZF (ZFC) en el nivel meta, que está lejos de Lesniewski intenciones.

Answer 4

A diferencia de la categoría de la teoría de que es en muchos sentidos una mayor libertad para el marco en el que hacer de las matemáticas y de la que muy bien capta universal de los objetos y las construcciones (p. ej., límites y colimits), mereology es una de las más restrictivas del marco de la teoría de conjuntos. La parte de la relación puede ser capturado por set/subconjunto, pero de conjunto/miembro no puede simplemente ser recapturados en mereology. Por ejemplo, en mereotopology un espacio está formado en su totalidad por partes ampliadas, no hay puntos. Pruebe la reformulación de la separación de los axiomas y la obtención de Urysohn del teorema, por ejemplo. (Tal vez se puede hacer. Yo así lo creo. Pero no es claro de inmediato cómo.) Por estas razones, mereology seguirá siendo de interés para nominalistically inclinado matemáticos, filósofos (como Tarski, por no hablar de Russell y Whitehead, en cuyo trabajo me parece mereological inclinaciones), pero no es probable que la chispa de un gran matemático programa de investigación, en mi opinión.

Answer 5

En algebraicas teoría de la Joya y de Moerdijk, el subconjunto relación es tomado como fundamental, con la participación sólo de ser un derivado de la noción (específicamente, el acumulado de jerarquía se toma para ser libre "ZF-álgebra"*; es decir, de orden parcial con pequeñas y se une a un abstracto "singleton" del operador. El orden corresponde a subsethood, y x está definida para ser un elemento de y sólo en caso de que el singleton operador aplicado a x se obtiene un subconjunto de y). Nunca puedo entender completamente qué es lo que mereology se supone que ser sobre todo como un supuesto contrario a la teoría de conjuntos, pero si es sólo una cuestión de visualización subsethood como el más elemental concepto de membresía, bueno, hay que ir.

[*: ZF-álgebra no es un gran nombre para el concepto general de este tipo de estructuras, en mi opinión, ya que tienen muy poco que ver específicamente con Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos. Tenga en cuenta que, a pesar de que cada objeto en la jerarquía acumulativa es únicamente una combinación de los embarazos únicos (y de esta manera se puede ver como un viejo y simple bolsa de elementos), en la más general de ZF-álgebras, puede haber objetos que no son las uniones de los embarazos únicos, y así llevar a una más mereological sabor; en particular, se trata de ilustrar que subsethood no es definible en términos de membresía, firmemente el establecimiento de subsethood como la más primitiva noción en este contexto]