¿Cuál es el error en la prueba de la hipótesis de la homotopía de Kapranov y Voevodsky?

Question

En 1991, Kapranov y Voevodsky publicó una prueba de un ahora famoso falso resultado, casi diciendo que el homotopy categoría de espacios es equivalente a la homotopy categoría de estricta infinito categorías que son débiles infinito groupoid.

En 1998 Carlos Simpson mostró que su principal resultado no podría ser cierto, pero no explica qué fue precisamente mal en el papel de Kapranov y Voevodsky.

De hecho, como explica el Voevodsky aquí, durante mucho tiempo después de eso, Voevodsky aparentemente pensó que su prueba era correcta y que Carlos Simpson cometido un error, hasta que finalmente encontró un error en su papel en el 2013 !

A pesar de ser falso, el documento por Kapranov y Voevodsky contiene un montón de cosas muy interesantes, por otra parte, la estrategia general de la prueba para el uso de Johnson Mayor categórica pegar diagrama generalizado Moore camino a strictify una infinidad groupoid suena como una idea muy razonable y es un poco de una sorpresa, al menos para mí, que no funciona.

De hecho, cuando Carlos Simpson demostrado que el principal teorema de Kapranov y Voevodsky del documento era falso, él conjeturó que la prueba podría permitir obtener que el homotopy categoría de espacios es equivalente a la homotopy categoría de estrictas de no unital infinito categoría que son débiles (unital) infinito groupoid (esto se conoce como Simpson conjetura).

Así:

Puede alguien explicar qué es exactamente lo que va mal en este papel ?

Answer 1

El MathSciNet revisión (por Julie Bergner) de libro de Simpson: Homotopy teoría de categorías superiores, Matemáticas Nuevas Monografías, 19. Cambridge University Press, Cambridge, 2012, tiene una nota sobre el contraejemplo.

REVISOR DEL APÉNDICE (octubre de 2015): Mientras no se indique explícitamente como tal, este libro contiene un contraejemplo de un resultado de M. M. Kapranov y V. Voevodsky (expresado en Uspekhi Mat. Nauk 45 (1990), no. 5(275), 183-184; MR1084995 y presentado en Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 32 (1991), no. 1, 29-46; MR1130401) que cualquier tipo n se puede obtener como la realización de una estricta n-groupoid. R. Brown y P. J. Higgins resultó en Cahiers Topologie Géom. Différentielle 22 (1981), no. 4, 371-386; MR0639048 que la Whitehead productos vanish para la realización de una estricta n-groupoid, y C. Berger resultó en Mayor homotopy estructuras en la topología y física matemática (Poughkeepsie, nueva york, 1996), 49-66, Contemp. Math., 227, Amer. De matemáticas. Soc., Providence, RI, 1999; MR1665460 que este resultado se mantiene incluso si inversos son débiles; el resultado también fue mencionado por Grothendieck en su carta de Perseguir las Pilas. Simpson argumento en este libro muestra que, incluso bajo un poco más de conciencia general functor, estos resultados implican que uno no puede obtener el 3-tipo de $S^2$ como la realización de cualquier estricto de 3 groupoid, contradiciendo la afirmación de Kapranov y Voevodsky.

Answer 2

Aquí es mi suposición. Para comparar los espacios con su noción de estricto $\infty$-groupoids (en el que todo es de estricta excepción de los inversos) Kapranov y Voevodsky el uso de una categoría intermedia de Kan diagrama de conjuntos, los cuales se muestran en el equivalente a dos espacios y estricto $\infty$-groupoids (después de invertir una adecuada recolección de la debilidad de equivalencias). Cualquiera que sea Kan diagrama de conjuntos, que parecen ser un no-estricto modelo, y por lo tanto, supongamos que forman un modelo de espacios. En este caso, el error debe estar en la comparación de Kan diagrama de conjuntos y estricto $\infty$-groupoids (Teorema 3.7). De este teorema se basa en la Proposición 3.5, el cual compara la homotopy grupos de un Kan diagrama de sistema $X$ y el homotopy grupos de la estricta $\infty$-groupoid $\Pi(X)$ generados a partir de $X$. Esta comparación, a su vez, se basa en el Lema 3.4 que dice que cualquier morfismos en $\Pi(X)$ puede ser realizado a través de un solo pegar el diagrama en $X$, los cuales son, en cierto sentido, las células de $X$ (desde $X$ es un presheaf en pegar los diagramas). Pero esta afirmación no parece ser cierto, y la razón es que cuando uno genera la $\infty$-groupoid $\Pi(X)$ no solamente libremente agregar morfismos, sino que también identifica los pares de morfismos que se supone que son el mismo en un estricto $\infty$-estructura de categorías. Esto significa, por ejemplo, que si dos diferentes pegar diagramas de coincidir después de esta identificación, la identidad de morfismos entre ellos podrían no ser pegar un diagrama en $X$ (o, al menos, uno tendría que explícitamente argumentar por qué esto sería el caso). La prueba del Lema 3.4 parece ser lo suficientemente vaga como para permitir esta sutileza a deslizarse. Todo esto podría estar equivocado, por supuesto, pero si tuviera que elegir uno posiblemente problemático lema sería este Lema 3.4.

Answer 3

Hace más de un año y medio desde que hice esta pregunta y yo tenía un montón de pensamiento en él, así que me decidí voy a publicar mi propia respuesta.

Primero estoy totalmente de acuerdo con Yonatan que el principal problema es con el lema 3.4. El problema específico que se menciona aparece exactamente a causa de la "degeneración de los mapas" que se agregan por Voevodsky y Kapranov a su categoría de diagramas. Más precisamente, se pueden usar las degeneraciones, la construcción de un diagrama de conjunto cuya realización se "colapso" debido a la Eckman-Hilton argumento, y curiosamente si uno modifica su definición, de modo que la categoría no tiene degeneraciones entonces esto ya no sucede (la libre $\infty$-categoría es simplemente obtenidas por "libremente añadiendo flechas" poco a poco como ellos asumen que se comporta en el papel). Así que si uno piensa que degeneraciones corresponden exactamente a las unidades, esto es muy alentador para los Simpson conjetura. No he sido capaz de hacer esto en un claro contraejemplo de la lema, pero sólo porque el lema de la realidad tiene otros problemas que aparecen antes de que.

En la final, creo que el principal obstáculo para su prueba de ello es el siguiente: la idea inicial para el uso de "generalizada de Moore homotopy" parametrizadas por alguna clase de diagramas parece (al menos de forma intuitiva) que necesitan los siguientes dos propiedades de la clase de diagramas:

1) Uno debe ser capaz formalmente de "componer" los diagramas (y que corresponde a pushout en el nivel de realización geométrica) de modo que cuando usted mira todas las funciones continuas $|D| \rightarrow X$ para todas las diagramas $D$ que de hecho obtener un $\infty$-categoría.

2) Que dados dos "paralelo" $n$-diagramas, puede construir un $(n+1)$-diagrama de cuyo origen y destino son los dos $n$-diagramas, así que si dos formas para diagramas se utilizan para representar homotopically equivalente $n$-flechas, a continuación, uno puede realmente tener un $(n+1)$-flecha que representa este homotopy.

Parece que estas dos propiedades de errores para el tipo de diagramas (Johnson diagramas) que están utilizando! Desafortunadamente, debido al hecho de que en realidad el uso de un poco diferentes de la construcción de la que explicamos en la introducción, estos no se traducen inmediatamente en errores en su papel.

Dicho esto, que en realidad parece que Johnson diagramas puede ser integrado dentro de la prueba del Lema 3.4 se mencionó anteriormente, por lo que es probablemente la segunda razón por la que este lema se produce un error.

No es claro para mí si (y cuando) la segunda propiedad en algún lugar, pero espero que algunos de este tipo de bienes debe ser importante en el fin de demostrar que la geometría de la realización de diagrama de conjuntos de hecho induce una equivalencia con la categoría de los espacios (y son extremadamente imprecisa acerca de cómo esta equivalencia se obtiene, simplemente se dice que "uno hace exactamente igual que para la simplicial y cúbica conjuntos"!).

Para obtener más detalles (y una tercera razón por la Lema 3.4 falla) tengo una muy reciente preprint (https://arxiv.org/abs/1711.00744) que construye una categoría de diagramas que tiene las dos propiedades mencionadas anteriormente, tan pronto como usted trabaja en un 'no-unital marco, lamentablemente esta categoría de diagramas es mucho más complicado de la categoría de Johnson diagramas (y es único por lo que esta complicación es inevitable) y de esta forma se evitan usando exactamente la misma estrategia como ellos lo hacen. Yo lanzamiento de disco en los detalles en el apéndice del papel de la prueba de Kapranov y Voevodsky (esto se expanda mucho en esta respuesta) y explicar algunas ideas sobre cómo hacer que en una prueba de los Simpson conjetura utilizando la categoría de los diagramas que he construido. Esta nueva versión también tiene la ventaja de hacer las dos formas de explicar la construcción (en términos generalizada de Moore homotopies y el uso de dos adjunctions con un presheaf categoría de diagramas en el medio) en realidad equivalente.

Actualización : De hecho, en un posterior preprint, hice resultó ser una versión de los Simpson conjetura utilizando esencialmente la estrategia de Kapranov y Voevodsky con una modificación de la categoría de los diagramas.

Tenga en cuenta que todavía hay algunas dificultades que aparecen (debido a la mayor complejidad de la categoría del diagrama) y en este momento estoy todavía no es capaz de probar que la mayoría de los generales de la versión de los Simpson conjetura. Para ser precisos, en este momento solo soy capaz de strictify un cierto conjunto de la composición de las operaciones, lo que yo llamo la "regular la composición de las operaciones", (de manera informal son aquellos cuyas pegar diagrama es "topológicamente regular"), que son tales que cualquier tipo de composición de la operación a la que se tiene en un $\infty$-categoría puede ser obtenida como regular la composición de identidades y no de identidades de flecha. Por lo que no da una idea de que usted tiene un montón de operaciones que sean estrictamente compatibles, y sólo una débil identidades en la parte superior de eso, pero aún se puede esperar para encontrar declaración más fuerte con más estricto de las operaciones.