La respuesta de Jørgen Ellegaard Andersen sólo se refiere al caso de cuando el grupo gauge es $SU(n)$.
Voy a argumentar que todos los ingredientes de la equivalencia entre los dos enfoques (es decir, "de cuantización geométrica de carácter variedades" y "quantum grupos más madeja de la teoría") están ahí, para arbitrario simplemente conectado grupo gauge.
Primero que todo, recordemos qué es lo que los dos enfoques de la realidad, de construir.
$\bullet$ El primer enfoque, desarrollado por Axelrod-DellaPietra-Witten [1] y Hitchin [2]
construye un paquete sobre el espacio de moduli de género $g$ superficies, junto con un projectively plana de conexión (los llamados paquetes de conformación de bloques).
Tenga en cuenta que no hay ninguna manera (a mi conocimiento) para el uso de los paquetes para la construcción de 3-colector de invariantes, sin que, como un paso intermedio, habiendo construido un sistema modular de tensor de la categoría.
Así que voy a tomar el punto de vista de que "geométrica de cuantización de carácter variedades" enfoque sólo las construcciones de los paquetes de conformación de bloques.
$\bullet$ El segundo enfoque, por Reshetikhin y Turaev [3] toma como entrada el modular tensor de categorías provenientes de los grupos cuánticos (aparte: el último fue en realidad sólo se clasifican por Sawin [4]). Produce como salida un topológico modular functor (que asigna el vector de espacios topológicos con las superficies parametrizadas límite, y "etiquetas" (objetos de la MTC) en cada uno de los componentes del borde) y también las 3 dimensiones TQFT (un functor de la cobordism categoría de superficies y 3 dimensiones cobordisms a $Vect$).
Como parte de los datos, vemos también a los espacios vectoriales asociados a las superficies, pero esta vez, son superficies topológicas (equipado con una opción de Lagrange en su primer homología).
Los espacios vectoriales que aparecen en el segundo enfoque forma parte de un topológico modular functor.
A priori, el vector de paquetes que aparecen en el primer enfoque son solo vector de paquetes. Pero, en realidad, se ha demostrado por Laszlo [5] de acuerdo con el llamado WZW de conformación de bloques. El último había sido demostrado por Tsuchiya-Ueno-Yamada [6] para satisfacer factorización, es decir, a ser un complejo modular functor.
Dada la equivalencia entre topológico modular functors y complejo sistema modular de functors [7; Teorema de 6.7.12], un significativo pregunta es entonces:
Es el complejo modular functor proporcionada por el primer enfoque equivalente a la compleja modular functor asociados a la topológico modular functor proporcionada por el segundo enfoque?
Voy a tomar es que esa es la pregunta que el OP quería preguntar.
Andersen y Ueno [8] han mostrado(⚠) que el complejo modular functors están determinadas por su género cero de los datos, y lo mismo vale también para topológico modular functors. El género cero es equivalente (por tanto complejo y topológicas modular functors) a los datos de un `débil de la cinta del tensor de la categoría' [7, Teorema de 5.3.8] (que va a llegar a ser un sistema modular de tensor de la categoría en nuestro caso de interés).
Así que hemos reducido la pregunta a la siguiente:
Son modulares tensor de las categorías asociadas a los grupos cuánticos equivalente a
el sistema modular de tensor de categorías provenientes de la WZW modular functor?
La respuesta es... complicado sí: ver esto antes de MO cuestión de la mina.
Referencias
[1] Axelrod; Della Pietra; Witten, de cuantización Geométrica de Chern-Simons teoría de gauge. J. Diferencial Geom. 33 (1991), no. 3, 787-902.
[2] Hitchin, tv de conexiones y geométricas de cuantización.
Comm. De matemáticas. Phys. 131 (1990), no. 2, 347-380.
[3] Reshetikhin; Turaev, los Invariantes de las 3-variedades a través del enlace polinomios y los grupos cuánticos. Inventar. De matemáticas. 103 (1991), no. 3, 547-597.
[4] Sawin, los grupos Cuánticos en las raíces de la unidad y la modularidad.
J. Nudo de la Teoría de Ramificaciones 15 (2006), no. 10, 1245-1277.
[5] Laszlo, Hitchin y WZW las conexiones son las mismas.
J. Diferencial Geom. 49 (1998), no. 3, 547-576.
[6] Tsuchiya; Ueno; Yamada,
La teoría conforme de campos en la familia universal de estable en curvas con medidor de simetrías. Adv. Stud. Matemáticas Puras., 19 (1989), 459-566.
[7] Bakalov; Kirillov, Conferencias sobre el tensor de categorías y modular functors.
Universidad De La Serie De Conferencias, 21.
(Todas las referencias son a la versión en línea.)
[8] Andersen; Ueno, Modular functors están determinadas por su género cero de los datos. Quantum Topol. 3 (2012), no. 3-4, 255-291. ⚠Por desgracia, Andersen y Ueno utilizar una versión estándar del término "modular functor", que no es equivalente a la utilizada por otros. Ver http://andreghenriques.com/AndersenUeno.html para una discusión.
