¿Cuál era la visión de Hilbert de los teoremas de incompletitud de Gödel?

Question

Según Solomon Feferman, en su presentación de "Tres Problemas de Matemáticas", Hilbert escribió (en materia de Gödel del segundo teorema de la incompletitud):

...el objetivo final [es] para establecer como constante a todos nuestros métodos habituales de las matemáticas. Con respecto a este objetivo, me gustaría destacar la siguiente: el punto de vista que temporalmente se levantó y el que se mantiene que ciertos resultados de Gödel demostró que la prueba de la teoría no puede ser llevado a cabo, ha demostrado ser errónea.

En el hecho de que el resultado muestra que sólo hay que utilizar el finitary punto de vista de una mejor manera para los de mayor alcance la consistencia de las pruebas..."

(Hilbert, Einführung a [Hilbert y Bernays 1934]).

¿Qué Hilbert decir con esa declaración?

Hay una más completa de la cuenta de Hilbert con respecto a esa declaración y ¿qué es?

Answer 1

La reacción de Hilbert a Gödel es descrito en detalle por Solomon Feferman en Gödel en finitism, constructivity y el programa de Hilbert (2011).

Hilbert fue afectada por alguna de las reconsideraciones de los posibles límites a finitary métodos en la búsqueda de su consistencia programa que habían sido estimuladas Gödel de trabajo. De hecho, no hay comunicaciones entre Hilbert y Gödel y que nunca se reunió. Tal vez la segunda teorema de la incompletitud en la unprovability de la consistencia de un sistema de tomó Hilbert por sorpresa. No sabemos exactamente lo que él hizo, pero podemos apreciar que podría haber sido bastante inquietante, para él había invertido una gran cantidad de pensamiento y la emoción en su finitary la coherencia del programa que se convirtió en un problema como resultado.

Hay sólo un comentario, de un carácter despectivo, que hizo al respecto cuatro años más tarde, en su 1934 prólogo al tomo I de la Grundlagen der Mathematik. Esta es su única referencia en cualquier lugar a Gödel o su los teoremas de incompletitud. Hilbert escribe [quote traducido en la OP].

Así que parece que la respuesta a la OP pregunta es "No, Hilbert no perseguir a las objeciones planteadas por Gödel". Otros contemporáneos hicieron, como se explica en el Programa de Hilbert (2015), pero al parecer no Hilbert mismo.

Answer 2

En su (excelente) ensayo de Hilbert del Programa, Craig Smoryński tiene esto que decir:

... una variante de lo que el OP citado.

[p. 53 en los enlaces de imprimir]

En 1931, Hilbert fue de sesenta y nueve. Según el ensayo, en la misma conferencia (en Königsberg, 1930) donde Gödel brevemente anunció su incompletitud resultado (en una discusión después de una charla por von Neumann en el programa de Hilbert), Hilbert iba a dar su discurso de jubilación. Él al parecer no se dio cuenta de Gödel el anuncio de entonces y allí, pero fue alertado a los resultados más tarde. Para citar Smoryński, El improptu anuncio de la Primer Teorema de la Incompletitud fue el gran acontecimiento de la década de 1930. [p.49]

Answer 3

Alguna información relacionada :

1) el Volumen 2 de Hilbert & Bernays, Grundlagen der Mathematik (1939) incluyen pruebas de Gödel de la 1ª y 2ª Teoremas (para la 2ª, fue la primera publicación completa de la prueba), así como Gentzen del concistency la prueba, con una discusión detallada de su "impacto" en la finitist punto de vista.

Ver Wilfried Sieg & Mark Ravaglia, David Hilbert y Paul Bernays Grundlagen der Mathematik I y II : UN Hito.

2) Ver en : David Hilbert, Conferencias sobre los Fundamentos de la Aritmética y la Lógica 1917-1933 (Wilfried Sieg ed - 2013), una Introducción a los Apéndices, página 788-on, respecto de Hilbert conferencias de los años '30 (y por lo tanto, "afectado" por Gödel los Teoremas).

3) Suponiendo que el trabajo en Grundlagen era al menos "supervisada" o "acordado" por Hilbert, podemos ver a Paul Bernays' papel de 1967 : parece que Hilbert con su proyecto fundacional post-1930, con el fin de tomar en cuenta de Gödel obras :

"Un paso en esta dirección [ la ampliación de los métodos de prueba de la teoría, de la original finito Standpunkt ], hecho por Hilbert mismo, fue reemplazar el esquema de completar la inducción por el más fuerte de la regla más tarde llamado infinito de inducción ("Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre" (1931a) y "Beweis des Tertium non datur" (1931b))." [vea la página 24].

Acerca de Beweis des Tertium non datur, aquí es Wilfried Sieg del comentario :

Hilbert 1931a trae una nueva técnica para abordar sintáctica integridad preguntas de aritmética, mientras que la de Hilbert 1931b formula bastante nuevos, pero también algo oscuro, las direcciones para una prueba más de la teoría de la obra. Está claro que reaccionan a lo que Hilbert y otros en su Escuela se conocía en el momento de Gödel de los Teoremas de Incompletitud, y son importantes, al menos en esa cuenta. El último papel también es importante, ya que influyó en Gentzen del intento temprano, a partir de finales de 1931, para establecer la consistencia de la plena elementales de la teoría de números.

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Sieg presentación se expanden en :

• Wilfried Sieg, de Hilbert, Programas y más Allá (2013) : II Análisis : la Histórica, la página 129-en.

Answer 4

_{Aquí es una referencia de la que no se ha mencionado hasta ahora, que en un sentido (de tomar la declaración fuerte me citan a continuación en el valor de cara) da una respuesta a la OP, y es tan nuevo que tal vez esto es desconocido para la OP. Estoy publicando esto desde que me tropecé sobre este hilo al leer el capítulo que cito a continuación. Definitivamente parece que en el tema de este hilo.}

En la muy reciente Sammelband en Gerhard Gentzen el legado de

Gentzen del Centenario: la Búsqueda de La Coherencia. editado por Reinhard Kahle y Michael Rathjen Springer, x+561 páginas, Springer, 2015, ISBN: 978-3-3191-0103-3

en las páginas 5 a 6 de la contribución

[Reinhard Kahle: Gentzen la Consistencia de la Prueba en el Contexto. op. cit. p. 3-24]

uno lee

"Pero Hilbert fue, de ninguna manera, una filosófica radical. La única pieza de evidencia escrita que tenemos de Hilbert de la recepción de Gödel del resultado [énfasis añadido] es el críptico corto prefacio del primer volumen de la Grundlagen der Mathematik [52], diciendo que Gödel del resultado "solo muestra que---para los más avanzados de la consistencia de las pruebas---el finitistic punto de vista tiene que ser explotados de una manera que es más [...],"¹¹ es decir, el filosófico punto de partida fue el cambio. Bernays y Ackermann nos proporcionan otros dos testimonios que Hilbert pronto se adaptaron su "meta-punto de vista matemático." [énfasis añadido] Basado en Bernay informes, Reid [cuya escritura acerca de Hilbert parece ser pensado según lo establecido por el real de la investigación histórica; ver, por ejemplo, el AMS necrológica], escribe acerca de Hilbert la reacción de Gödel del resultado [ Constance Reid: Hilbert, p. 198] "En la primera sólo fue enojado y frustrado, pero luego comenzó a intentar responder de forma constructiva¹ con el problema. Bernays se encontró a sí mismo la impresión de que incluso ahora, en el final de su carrera, Hilbert fue capaz de hacer grandes cambios en su programa." Ackermann, escribe en una carta a Hilbert (23 de agosto de 1933)¹²: "yo estaba particularmente interesado en el nuevo meta-punto de vista matemático el cual se adoptan ahora y que fue provocada por Gödel de trabajo." Por desgracia, no tenemos fuentes que expliquen en detalle de Hilbert nuevo punto de vista, pero va sin decir que Gentzen estuvo en línea con él.

Aquí me dan la nota de pie de página '¹¹' de la cita anterior:

"[Hilbert y Bernays, p. VII]. Original en alemán: "Jenes Ergebnis zeigt in der Tat auch nur, daß hombre für die weitergehenden Widerspruchsfreiheitsbeweise den finiten Standpunkt en einer schärferen Weise ausnutzen muß, [...]."

Aquí me dan la nota de pie de página '¹²' de la cita de arriba

Original en alemán [Kahle aquí da una referencia a una carta de Ackermann para Hilbert, al parecer, mantenido por la Universitätsbibliothek Göttingen]: "Besonders interessiert hat mich der neue meta-mathematische Standpunkt, den Sie jetzt einnehmen und der durch die Gödelsche Arbeit veranlaßt worden ist." La carta fue escrita después de Ackermann visitado Göttingen, pero no cumplía Hilbert y solo habló con Arnold Schmidt, quien le informó acerca de "todo" [Kahle no indica qué tipo de comillas estos son, es decir, si se trata de asustar a las comillas se pretende indicar que "todo" se utiliza irónicamente o comillas lo que indica que alguien es citado aquí] pasando en Göttingen.

Así que, para resumir

(0) Kahle hace una fuerte declaración: "la única evidencia escrita que se tiene de" acerca de lo que es, en un sentido, sólo un semi-decidable problema (pensar, por ejemplo, de Hilbert cajas de Reid encontró en Göttingen), y esta declaración de Kahle, básicamente, dice que lo que el OP citado es la única evidencia histórica de cómo Hilbert reaccionó.

(1) la respuesta a La pregunta "¿Qué Hilbert decir con esa declaración?" en el OP parece ser: "nadie sabe en realidad, sin embargo, mucho se puede extrapolar a partir de lo Hilbert hizo en los diez años después de esta declaración".

¹_{Reid con el uso de 'a tratar de manera constructiva con el problema' es un poco torpe en este contexto, por razones obvias. Aquí, asustar a citas habría sido el fin.}

Answer 5

Aquí está la cuenta de Logicomix de la reacción de Hilbert.

Tal vez una referencia al hotel de Hilbert ?