Me parece que el problema de la audiencia de la forma de un tambor fascinante. Específicamente, dados dos subconjuntos de $\mathbb R^2$ con trozos suave límites (o una generalización a un colector de riemann) es en general imposible utilizar el espectro de la laplaciano para identificar la forma del dominio.
Como un simple ejemplo, se informó en el enlace de Wikipedia anteriormente, estas dos formas
tienen idéntico laplaciano espectros, como se explica más en detalle por Gordon y Webb en American Scientist 84 no. 1, 46 (1996) (jstor). Esto puede ser demostrado por tomar cualquier eigenfunction $\varphi$ a $D_1$, el corte hacia arriba en el marcado del triángulo de las regiones, y tomando el especificado combinaciones lineales en $D_2$ hacer un laplaciano eigenfunction con las mismas condiciones de contorno, correctas en las fronteras interiores, y el mismo autovalor.
Lo que me molesta de este problema es que el espectro no es realmente lo que se escucha en el mundo real del tambor. Más específicamente, el espectro le da las frecuencias de los fundamentos y matices que el tambor está permitido para producir, pero no indica en qué proporción lo hará. Si usted golpea un tambor circular en el centro, que hará las delicias de una gran amplitud de la fundamental, lo que resulta en un sonido más profundo, pero si usted tambor cerca del borde se producirá un sonido rap con una mayor proporción de mayores matices.
El conjunto de sonidos que un tambor puede producir por lo tanto es mejor modeladas por el par de
- su Laplace-Beltrami espectro, junto con
el conjunto $T$ de timbres que es capaz de producir.
Por un timbre me refiero a la secuencia de eigenfunction pesos cuando el tambor es golpeado en $x$, es decir,$$\tau(x)=\left( \sqrt{\sum_k|\varphi_{n,k}(x)|^2} \right)_{n=1}^\infty,$$ where the $\ varphi_{n,k}$ are the (possibly multiple) orthonormalized eigenfunctions corresponding to the eigenvalue $\lambda_n$, y dos timbres son considerados como equivalentes si sólo difieren por una constante global (que trivialmente corresponde a la fuerza con la que el tambor).
(Esta cantidad está destinada a modelo de la cantidad de energía en cada subespacio propio después de un punto de la excitación a la ecuación de onda (por ejemplo, a través de $\Delta \varphi-\partial_t^2\varphi=0$, $\varphi(y,0)=0$, $\partial_t\varphi(y,0)=\delta(x,y)$), y tal vez no son las más limpias o equivalente definiciones para $\tau(x)$ sobre la base de que la PDE. Sin embargo, la definición anterior es suficiente para satisfacer la intuición de cómo el musical timbre depende de la drumpoint de un físico de la perspectiva.)
El conjunto de todos los timbres es, a continuación,$T=\{\tau(x):x\in D\}$: es decir, que está provisto de todos los timbres, pero no la que coloque en la geometría del que proceden. (Como se señaló en los comentarios, el conocimiento inicial de la geometría representa la totalidad de la cosa discutible.)
En este paradigma, dos isospectral superficies de $D_1$ e $D_2$ siguen siendo 'acústicamente distinguibles' si, por ejemplo, $D_1$ contiene un punto de $x^*$, lo que produce un timbre $\tau^{(1)}(x^*)$ que no es igualado por el timbre $\tau^{(2)}(y)$ de cualquier punto de $y\in D_2$. En otras palabras, usted no puede ver el tambor, y usted no puede ver donde el baterista es golpear, pero si baterista 1 puede producir un timbre que el baterista de 2 no se puede, a continuación, la batería debe ser diferente.
(Alternativamente, uno puede tener acceso a una función de $u\mapsto \tau(f(u))$ donde $u$ vive en algunas de dominio estándar $D_0$, al igual que la unidad de disco y $f:D_0\to D$ es un desconocido (homeo/diffeo/etc)-morfismos. Es decir, se obtiene un control que especifica donde el tambor debe ser golpeado, pero no sabe exactamente lo que hace. Se puede decir entonces dos tambores $D_1$ e $D_2$ son indistinguibles si hay un morfismos $g:D_1\to D_2$ tal que $\tau^{(2)}(g(x))=\tau^{(1)}(x)$ para todos los $x\in D_1$, es decir, una asignación de cada punto de $x$ en $D_1$ a un idéntico sonido del tambor punto en $D_2$.)
Así que, para que venga a mi pregunta: tiene este paradigma se ha explorado en la literatura? Para el conocido isospectral-pero-no-isomorfo regiones (o más complejos colectores), son los pares conocido por ser acústicamente indistinguibles como se definió anteriormente? O debe acústicamente indistinguibles de las superficies de ser isométrica? ¿Este concepto tiene un nombre establecido en la literatura? Si se ha explorado, hay buena introductorio de encuestas (por ejemplo, acamparon en un nivel en el que un físico puede entender)? Si no, hay razones fundamentales por las que este es un problema mucho más difícil en general?
