Tratamientos sofisticados de temas en matemática escolar

Question

Sofisticados conceptos matemáticos suelen arrojar luz sobre sofisticadas matemáticas. Pero en algunos casos también se aplican a la matemática elemental en una manera interesante. Me parece tales ejemplos particularmente instructivo, y me gustaría tener una lista de ellos. Para hacer la pregunta bien definida, mi (arbitrario) punto de corte para la "primaria" se USA K-12. Por "sofisticado", me refiero a 20th-21st century investigación de las matemáticas, y las solicitudes deben ser trivial suficiente para haber aparecido en la investigación a nivel de publicaciones.

Puedo poner dos ejemplos que conozco.

• La operación de transporte en base 10 además implica el cálculo de un grupo 2-cocycle, como se explica en este MO respuesta y en este ncatlab página siguiente (Daniel C. Isaksen, Un cohomological punto de vista en la escuela elemental de la aritmética, de la Amer. De matemáticas. Mensual (109), no. 9 (2002), pág. 796--805).

• El pasaje de la poset de enteros no negativos a la monoid de sus diferencias (es decir, trabajar con las expresiones de la forma $x-y$ donde $x$ e $y$ son números) es el olvidadizo functor de una coma categoría $0/\mathcal{C}$ a $\mathcal{C}$ donde $\mathcal{C}$ es un monoid con el único objeto de $0$, como se describe por Lawvere en la Sección 4 de Categorías de Tomar en Serio.

Pregunta: ¿cuáles son otros ejemplos de cálculos matemáticos complejos aclaración de primaria matemática ideas y conceptos?

Edit: Un ejemplo por respuesta, por favor. También, si usted tiene ejemplos que no son de investigación-documento de contenido, pero están cerca, pues, que todavía interesante para mí, pero por lo menos como se pone aún más de nivel de investigación. Los ejemplos más interesantes para mí son aquellas con las citas de los trabajos de investigación, como en los ejemplos citados.

Answer 1

La fórmula de la suma de ángulos $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha) \tan(\beta)}$ para la tangente da uno de los más simples ejemplos no triviales de un grupo formal de la ley, es decir,$F(x, y) = \frac{x + y}{1 - xy}$. Una variación correspondiente a la tangente hiperbólica rige la suma de las velocidades en la relatividad especial, y una mayor variación está relacionada, a través del diccionario de entre el grupo formal de las leyes y de los géneros, a la Hirzebruch $\chi_y$ género. Véase, por ejemplo, este papel.

Answer 2

No los llamaría esta sofisticada, pero tal vez no tan lejos de el siglo 20.

Hay varias mitad de ángulo fórmulas para la tangente, entre ellos: $$ \tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}. $$ Las dos primeras fracciones aspecto esencialmente diferentes, pero ambos parecen ser reducido en el sentido de no tener un factor común en el numerador y el denominador. Si tenemos la plaza de los dos fracciones, se simplifican de la misma manera, y esto le da la tercera forma.

Una explicación para esto es que el anillo de $\mathbb{R}[\sin x,\cos x]$ es un dominio de Dedekind de clase número de $2$, e $(\sin x,1+\cos x)$ es un no-director de ideal. Esto significa $\sin x/(1+\cos x)$ no puede ser escrito como una relación de comaximal elementos, pero su plaza.

Si podemos trabajar a través de los números complejos en su lugar, $\mathbb{C}[\sin x,\cos x]$ es un PID, por lo que podemos escribir la tangente de la mitad de ángulo fórmula en la "mínima expresión": $$ \tan \frac{x}{2}=-i\frac{\cos x+i\sen x-1}{\cos x+i\sin x+1}. $$

Answer 3

Es común que en el cálculo de las clases y los libros de texto para el estado que la antiderivada de $\frac{1}{x}$ es $\log |x| + C$ donde $C$ es una constante. Esto es incorrecto: $C$ sólo necesitan ser localmente constante de la función en $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$ (por lo que puede tomar diferentes valores en los positivos y los negativos reales). Esto refleja el hecho de que $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$ ha trivial $H^0$, que se detecta a través de de Rham cohomology.

Para una referencia sólo tengo este nCafe post.

Answer 4

La solución de Wilkie al llamado problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski muestra que no todas las identidades que implican suma, multiplicación y exponenciación que son verdaderas para todos los enteros positivos son demostrables a partir de las reglas habituales dadas en la escuela secundaria.

Answer 5

Linderholm el libro de Matemáticas Hizo Difícil, está lleno de este tipo de cosas. Estas muestras pueden dar una idea:

1. La proposición. Si usted puede agregar, usted puede contar.

Prueba. Contando con el aditivo monoid $N_0$, comenzamos a $0$; después de decir $n$, podemos decir $n+1$. Por lo tanto, ya tenemos un sistema de conteo. $$n\mapsto n+1\qquad\{0\}\hookrightarrow N_0\rightarrow N_0.$$ But having a counting system is not enough. What you must have in order to assure success in all your counting endeavours is a real, true, initial counting system. So let $$\{x\}\hookrightarrow X\rightarrow^{\!\!\!\!\!\!f}X$$ be any counting system. The set of all functions $$X\rightarrow X$$ is easily verified to be a monoid $\cal X$. Hence there is a unique monoid homomorphism $$N_0\rightarrow{\cal X}$$ sending $$1\mapsto f;$$ which is written $$n\mapsto f^n.$$ Now it is possible to define a mapping $$N_0\rightarrow X$$ by writing $$n\mapsto f^n(x)$$

2. Afirmo que todo número distinto de $1$ e $-1$ efectivamente se ha conseguido un primer factor. Dado que el número de $n$ en cuestión no es una unidad, el conjunto de sus múltiplos $${\frak a}=\{xn:x\in z\}$$ is not all of $Z$. Consider the class $\cal I$ of all proper ideals of $Z$ containing $\frak un$ as a subset; the set-inclusion relation $\subconjunto$ makes $\cal I$ a partially ordered set. Now consider any subclass of $\cal I$ with the property that if $\frak b$, ${\frak c}\in{\cal C}$ then either ${\frak b}\subconjunto{\frak c}$ or ${\frak c}\subconjunto{\frak b}$; the union of $\cal C$ is trivially a proper ideal of $Z$ containing as a subset every ideal of $\cal C$ and also containing $\frak un$ as a subset. By Zorn's Lemma, a proper ideal $\frak m$ of $Z$ exists that is maximal with respect to the property of being a proper ideal of $Z$ containing $\frak un$ as a subset. Hence $\frak m$ es maximal con respecto a la propiedad de un ideal; y por lo tanto es un alojamiento ideal.

Ahora, en el ring $Z$ de todos los ideales tiene un generador. El generador de un primer ideal es primo; desde $n$ es en este ideal, hemos terminado.