¿$\Bbb{CP}^{2n} \# \Bbb{CP}^{2n}$ Admite alguna vez una estructura casi compleja?

Question

Esta pregunta ha sido crossposted de Matemáticas.SE en la esperanza de que se llegue a una audiencia más grande aquí.

$\Bbb{CP}^{2n+1} \# \Bbb{CP}^{2n+1}$ apoya una estructura compleja: $\Bbb{CP}^{2n+1}$ tiene una orientación de la inversión diffeomorphism (complejo de la conjugación!), así que esto es diffeomorphic a la voladura de $\Bbb{CP}^{2n+1}$ a un punto.

Por otro lado, $\Bbb{CP}^2 \# \Bbb{CP}^2$ no incluso el apoyo de casi una estructura compleja: Noether la fórmula exige que su primera clase de Chern $c_1^2 = 2\chi + 3\sigma = 14$, pero si $c_1 = ax_1 + bx_2$ (donde $x_1, x_2$ generar $H^2$, $x_1^2 = x_2^2$ es el positivo del generador de $H^4$, e $x_1x_2 = 0$), a continuación,$c_1^2 = a^2 + b^2$, y usted no puede escribir $14$ como una suma de dos cuadrados.

El uso de una de mayores dimensiones facsímil de la misma prueba, me escribió una prueba aquí que $\Bbb{CP}^4 \# \Bbb{CP}^4$ no admite casi de estructura compleja. Los cálculos utilizando cualquier argumento similar, sin duda alguna, se convertirá absurdo, si he aumentado la dimensión más.

Puede cualquier $\Bbb{CP}^{2n} \# \Bbb{CP}^{2n}$ apoyo casi una compleja estructura?

Answer 1

El $m$veces conectado suma $m\# {\mathbb{CP}}^{2n}$ admite casi de estructura compleja, si y sólo si $m$ es impar, como se muestran en nuestro reciente preprint. (Por cierto, gracias a Mike por esta interesante pregunta, lo que nos motivó a escribir el libro!)

He aquí un breve resumen de la prueba de la idea. Nuestra principal herramienta es un resultado por Sutherland resp. Thomas a partir de los años 60 que nos dice cuando una estable casi compleja estructura es inducida por un honesto casi compleja estructura: este es el caso de la fib en su parte superior de Chern de clase es igual a la de Euler de la clase del colector.

Como conectado suma de los colectores de admisión estable casi compleja estructura admite uno así, ciertamente tenemos estable casi estructuras complejas en $m\# {\mathbb{CP}}^{2n}$ a nuestra disposición, podemos entender el conjunto completo de todas estas estructuras explícitamente determinar el núcleo de la reducción de mapa de complejo real de la K-teoría. Podemos entonces calcular la parte superior de Chern de la clase de todas estas estructuras: por suerte para nosotros, resulta que en el fin de demostrar la no existencia de casi estructuras complejas, incluso para $m$, es suficiente para calcular el valor del módulo 4 y compararla con la característica de Euler de $m\# {\mathbb{CP}}^{2n}$. Por extraño $m$, de manera explícita a encontrar una estable casi compleja estructura para que el criterio anterior es satisfecho.

Edit: El papel Conectado sumas de casi complejos colectores de Huijun Yang generaliza nuestro teorema de las siguientes hermosas hecho:

Deje $M_i$ $i=1,\ldots,\alpha$ ser $4n$-dimensiones casi complejos colectores. A continuación, la suma conectado $$\#_{i=1}^\alpha M_i \#(\alpha-1) \mathbb C\mathbb P^{2n}$$ admits an almost complex structure. Moreover if $M$ is an almost complex manifold of dimension $2n$ a continuación, $M\#\overline{\mathbb C\mathbb P^n}$ admite casi de estructura compleja.

Así, la última declaración significa que el "blow-up" de casi complejos colectores es de nuevo casi complejos en analogía a blow-ups de puntos en el complejo de los colectores.