¿Tienen más hermanos los hombres o las mujeres?

Question

¿Tienen más hermanos los hombres o las mujeres?

Creo que las mujeres tienen más ya que ningún hombre puede ser su propio hermano. Pero, ¿cómo se puede demostrar con rigor?

---

Voy a sugerir algunos supuestos razonables de fondo:

1. Hay un gran número de individuos, de los cuales la mitad son hombres y la otra mitad mujeres.
2. Los individuos se dividen en familias no vacías.
3. La distribución de los tamaños de las familias no se especifica deliberadamente.
4. Sin embargo, en cada familia, el sexo de cada miembro es independiente del de los demás.

Creo que estas suposiciones son más o menos correctas para el mundo en el que realmente vivimos.

Incluso en ausencia de cualquier información sobre el punto 3, ¿qué se puede decir sobre la expectativa relativa de las variables aleatorias "Número de hermanos del individuo $I$ dado que $I$ es mujer" y "Número de hermanos del individuo $I$ dado que $I$ es masculino"?

Y cómo se puede refutar directamente el argumento que afirma que la segunda expectativa debería ser casi con toda seguridad menor que la primera, basándose en la observación de que en cualquier familia, digamos con dos chicas y un chico, las chicas tienen al menos tantos hermanos como los chicos, y normalmente más.

Answer 1

¡Cuántas respuestas largas! Pero en realidad es muy sencillo.

• Matemáticamente, el número esperado de hermanos es el mismo para hombres y mujeres.
• En la vida real, podemos esperar que los hombres tengan ligeramente más hermanos que a las mujeres.

Matemáticamente:

Supongamos, como dice la pregunta, que "en cada familia, el sexo de cada miembro es independiente de los sexos de los demás miembros". Esto es todo lo que suponemos: no podemos elegir un conjunto concreto de familias. (Esto es esencial: Si eligiéramos el conjunto de familias que consideramos, podemos encontrar conjuntos en los que los hombres tienen más hermanos, conjuntos en los que las mujeres tienen más hermanos, o en los que los números son iguales: podemos conseguir que la respuesta salga de cualquier manera).

Voy a escribir $p$ para la proporción de género, es decir, la proporción de todas las personas que son hombres. En la vida real $p$ se acerca a 0,5, pero esto no supone ninguna diferencia. En cualquier conjunto aleatorio de $n$ personas, el número esperado (promedio) de hombres es $n\cdot p$ .

1. Tome un niño arbitrario $x$ y que $n$ sea el número de niños en $x$ de la familia.
2. Dejemos que $S(x)$ sea el conjunto de $x$ de los hermanos. Tenga en cuenta que hay no restricciones relacionadas con el género en $S(x)$ : Es sólo el conjunto de niños que no son $x$ .
3. Obviamente, el número esperado de $x$ 's brothers es el número esperado de hombres en $S(x)$ .
4. ¿Cuál es el número esperado de hombres en este conjunto? Dado que $x$ tiene $n-1$ hermanos, es sólo $(n-1)\cdot p$ o aproximadamente $(n-1)\div 2$ independientemente de $x$ de la mujer. Eso es todo.

Tenga en cuenta que el género de $x$ no figura en absoluto en este cálculo. Si eligiéramos un chico o una chica arbitrarios en el paso 1, el cálculo sería exactamente el mismo, ya que $S(x)$ no depende de $x$ de la mujer.

En la vida real:

En realidad, la distribución de los géneros de los hijos sí depende un poco de los padres (por razones biológicas que escapan al ámbito de math.se). Es decir, la distribución de los géneros en las familias no es completamente aleatorio. Supongamos que algunas parejas no pueden tener niños, otras no pueden tener niñas, etc. En tal caso, ser varón es una prueba de que tus padres puede tener un niño, lo que aumenta (muy) ligeramente las probabilidades de que puedas tener un hermano.

En otras palabras: Si la probabilidad de tener hijos varones depende de la familia, los hombres tienen en promedio más hermanos, no menos. (Dejo expresamente de lado el escenario de "planificación familiar" en el que la gente elige tener más hijos en función del sexo de los que tiene. Si se permite esto, podría pasar cualquier cosa. )

Answer 2

Edit, 5/24/16: Después de pensarlo un poco, ya no me gusta esta respuesta; en su lugar, vea mi segunda respuesta a continuación.

---

He aquí una versión sencilla de la pregunta. Supongamos que hay exactamente una familia que tiene $n$ niños, de los cuales $k$ son hombres con cierta probabilidad $p_k$ . Cuando esto sucede, los hombres tienen cada uno $k-1$ hermanos, mientras que las mujeres tienen $k$ hermanos. Así que parece que no importa cuáles sean las probabilidades $p_k$ son, las mujeres siempre tendrán más hermanos en promedio.

Sin embargo, esto no es cierto, y la razón es que a veces podemos tener $k = 0$ (no hombres) o $k = n$ (sin mujeres). En el primer caso las mujeres no tienen hermanos y los hombres no existen, y en el segundo caso los hombres tienen $n-1$ hermanos y las mujeres no existen. En estos casos no está claro si la pregunta tiene siquiera sentido.

---

Otra versión sencilla de la pregunta, que evita el problema anterior y que me parece más realista, es suponer que hay dos familias con un total de $2n$ niños entre ellos, $n$ de los cuales son hombres y $n$ de los cuales son mujeres, pero ahora los hijos se reparten entre las familias de forma aleatoria. Si hay $m$ hijos varones de la primera familia y $f$ hijos femeninos, entonces el número medio de hermanos que tiene un hombre es

$$\frac{m(m-1) + (n-m)(n-m-1)}{n}$$

mientras que el número medio de hermanos que tiene una mujer es

$$\frac{mf + (n-m)(n-f)}{n}.$$

La primera cantidad es grande cuando $m$ es grande o pequeña (en otras palabras, cuando la distribución de los hijos varones es desigual entre las dos familias) mientras que la segunda cantidad es grande cuando $m$ y $f$ son grandes o pequeños (en otras palabras, cuando la distribución de los hijos varones y mujeres es similar en las dos familias). Si suponemos que "grande" y "pequeño" son disjuntos y ambos se dan con cierta probabilidad $p \le \frac{1}{2}$ (decir $p = \frac{1}{3}$ para ser concreto), entonces el primer caso ocurre con probabilidad $2p$ (decir $2 \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ) mientras que el segundo caso se da con probabilidad $2p^2$ (decir $2 \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$ ). Así que heurísticamente, en esta versión de la pregunta:

Si es fácil que haya muchos o pocos hombres en una familia, los hombres podrían tener más hermanos que las mujeres porque es más fácil que los hombres se correlacionen con ellos mismos que las mujeres con los hombres.

Pero no tienes que creerme: podemos hacer el cálculo. Permítanme escribir $M$ para la variable aleatoria que describe el número de hombres en la primera familia y $F$ para la variable aleatoria que describe el número de mujeres en la primera familia, y supongamos que son 1) independientes y 2) simétricas respecto a $\frac{n}{2}$ para que en particular

$$\mathbb{E}(M) = \mathbb{E}(F) = \frac{n}{2}.$$

$M$ y $F$ son independientes, por lo que

$$\mathbb{E}(MF) = \mathbb{E}(M) \mathbb{E}(F) = \frac{n^2}{4}.$$

y de forma similar para $n-M$ y $n-F$ . Esto ya es suficiente para calcular el número esperado de hermanos que tiene una mujer, que es (porque $MF$ y $(n-M)(n-F)$ tienen la misma distribución por supuesto)

$$\frac{2}{n} \left( \mathbb{E}(MF) \right) = \frac{n}{2}.$$

En otras palabras, el número esperado de hermanos que tiene una mujer es precisamente el número esperado de hombres en una familia. Esto también se deduce de la linealidad de la expectativa.

A continuación, calcularemos el número esperado de hermanos que tiene un hombre. Esto es (de nuevo porque $M(M-1)$ y $(n-M)(n-M-1)$ tienen la misma distribución por supuesto)

$$\frac{2}{n} \left( \mathbb{E}(M(M-1)) \right) = \frac{2}{n} \left( \mathbb{E}(M^2) - \frac{n}{2} \right) = \frac{2}{n} \left( \text{Var}(M) + \frac{n^2}{4} - \frac{n}{2} \right) = \frac{n}{2} - 1 + \frac{2 \text{Var}(M)}{n}$$

donde utilizamos $\text{Var}(M) = \mathbb{E}(M^2) - \mathbb{E}(M)^2$ . Al igual que en la respuesta de Donkey_2009, este cálculo revela que la respuesta depende delicadamente de la varianza del número de hombres en una familia (aunque hay que tener cuidado al comparar estas dos respuestas: en la respuesta de Donkey_2009 él está eligiendo una familia al azar para inspeccionar mientras que yo estoy eligiendo una distribución aleatoria de hombres y mujeres entre dos familias). Más concretamente,

Los hombres tienen más hermanos que las mujeres por término medio si y sólo si $\text{Var}(M)$ es estrictamente mayor que $\frac{n}{2}$ .

Por ejemplo, si los hombres se distribuyen mediante lanzamientos de monedas independientes, podemos calcular que $\text{Var}(M) = \frac{n}{4}$ Así que, en este caso, las mujeres tienen más hermanos que los hombres (y esto no depende de la distribución de $F$ en absoluto, siempre que sea independiente de $M$ ). Aquí el argumento heurístico sobre la grandeza y la pequeñez no se aplica porque la probabilidad de $M$ desviarse de su media es bastante pequeño.

Pero si, por ejemplo, $m$ en cambio, se elige uniformemente al azar entre los posibles valores $0, 1, 2, \dots n$ entonces $\mathbb{E}(M^2) = \frac{n(2n+1)}{6}$ Así que $\text{Var}(M) = \frac{n(2n+1)}{6} - \frac{n^2}{4} = \frac{n^2}{12} + \frac{n}{6}$ que es bastante más grande que en el caso anterior, y esto da unos $\frac{2n}{3}$ se espera que los hermanos para los hombres.

Una objeción que podría tener el modelo anterior es que podría no parecer razonable para $M$ y $F$ ser independiente. Por un lado, a algunas familias les gusta tener muchos hijos, por lo que se puede esperar $M$ y $F$ que se correlacionen. Por otro lado, a algunas familias no les gusta tener muchos hijos, por lo que se podría esperar $M$ y $F$ para estar anticorrelacionados. Sin el supuesto de independencia, el cálculo para las mujeres adquiere un término adicional, a saber $\frac{2 \text{Cov}(M, F)}{n}$ (como en la respuesta de Donkey_2009), y ahora la respuesta también depende de lo grande que sea en relación con $\text{Var}(M)$ .

Nótese que el argumento del PO de que "ningún hombre puede ser su propio hermano" (básicamente, el $-1$ en $m(m-1)$ ) debería implicar, si funcionara, que la diferencia entre el número esperado de hermanos para hombres y mujeres es exactamente $1$ Esto sucede si se nos permite escribir $\mathbb{E}(M(M-1)) = \mathbb{E}(M) \mathbb{E}(M-1)$ si $M$ es independiente de sí mismo si es constante si $\text{Var}(M) = 0$ .

---

Editar: Quizás la mayor objeción que se puede hacer al modelo anterior es que el género de una persona determinada no es independiente del género de sus hermanos; es decir, como señala Greg Martin en los comentarios más abajo, no se cumple el requisito 4 del PO. Esto es más fácil de ver en el caso extremo de que $n = 1$ En este caso, sólo distribuimos un hijo varón y una hija mujer, por lo que los hermanos que tengas deben tener el sexo opuesto al tuyo. En general, el hecho de que el número de hijos varones y hembras esté fijado aquí significa que es más probable que tus hermanos sean de un género diferente al tuyo.

Un modelo más realista consistiría en distribuir los niños al azar y asignar sus géneros de forma aleatoria. Además, habría que pensar más en cómo modelar el tamaño de las familias.

Answer 3

Creo que voy a argumentar que Cut the Knot tiene razón.

No se especifica la distribución del tamaño de las familias. Hagamos algunos ejemplos. Supongamos que todas las familias tienen tamaño 1. Entonces todos los niños no tienen hermanos y todas las niñas no tienen hermanos. (Por tanto, no podemos concluir que las chicas tengan más hermanos que los chicos, independientemente de la distribución del tamaño de las familias).

Siguiente ejemplo. Todas las familias tienen la talla 2. Pero géneros aleatorios para los niños. Entonces hay cuatro tipos de familias, todas igualmente probables: $$ B\qquad B\\ B\qquad G\\ G\qquad B\\ G\qquad G\ $$ Escribí B=niño, G=niña, en orden de nacimiento. Ahora, si elegimos un chico al azar, ¿cuántos hermanos tiene? Hay cuatro B en la lista, dos de ellos tienen un hermano y dos no tienen hermanos. Así que un chico elegido al azar no tiene ningún hermano con la probabilidad $1/2$ y tiene un hermano con probabilidad $1/2$ . (Nota: hemos elegido un chico al azar, no una familia al azar.) Ahora repite, eligiendo una G al azar. Obtenemos: Una chica elegida al azar no tiene ningún hermano con probabilidad $1/2$ y tiene un hermano con probabilidad $1/2$ . De nuevo, es falso que una chica al azar tenga más hermanos que un chico al azar.

Si quieres, hazlo de nuevo para familias de tamaño 3. Un chico elegido al azar no tiene: ningún hermano con probabilidad $1/4$ un hermano con probabilidad $1/2$ y dos hermanos con probabilidad $1/4$ . Lo mismo para una chica elegida al azar.

Esto funciona para familias de cualquier tamaño, siempre que los tamaños estén fijados de antemano, y los géneros sean aleatorios e independientes.

Answer 4

Me han acusado de complicar demasiado la cuestión, así que aquí va una respuesta más corta y diferente. En su mayor parte repite cosas que ya se han dicho, por ejemplo, en la respuesta de zyx. Considere cualquier modelo en el que

1. Los niños son varones con probabilidad $\frac{1}{2}$ y la mujer con probabilidad $\frac{1}{2}$ ,
2. El género de un niño es independiente del género de sus hermanos, y
3. El sexo de un niño también es independiente del tamaño de la familia en la que se encuentra.

Con estos supuestos, el número esperado de hermanos de cualquier niño es $\frac{F-1}{2}$ donde $F$ es el tamaño esperado de una familia (donde elegimos una familia al azar eligiendo un hijo al azar). Por linealidad de la expectativa, el número esperado de hermanos de cualquier hombre, así como de cualquier mujer, es también $\frac{F-1}{2}$ . Un ejemplo sencillo de un modelo que satisface todos estos supuestos es un modelo en el que los niños se distribuyen en una familia de forma uniforme e independiente y también se les asigna un sexo de forma independiente. Otro ejemplo es un modelo en el que el tamaño de cada familia es fijo y los géneros se eligen de forma independiente.

El modelo de mi respuesta anterior (dividir un conjunto fijo de niños con géneros fijos entre dos familias) no satisface el supuesto 2.

Curiosamente, puede ocurrir que no haya familias con hijos sólo masculinos o sólo femeninos, lo que significa que en todas las familias las mujeres tienen más hermanos que los hombres, y sin embargo es todavía es cierto que el número esperado de hermanos es el mismo para las mujeres y los hombres. La razón es que cuando calculamos la expectativa para los hombres, las familias con más hijos varones tienen más peso. Como dice Julian Rosen en un comentario sobre la OP, este es un ejemplo de La paradoja de Simpson .

Answer 5

$\DeclareMathOperator{\ex}{\mathbb E}\DeclareMathOperator{\Var}{Var}\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}$ Si hay dos familias gigantes, una con todas las mujeres y otra con todos los hombres, los hombres tendrán más hermanos de media. Así que no se puede decir nada en general Incluso suponiendo que haya el mismo número de hombres y mujeres.

Así que tendremos que hacer algunas suposiciones. Para saber cuáles son los supuestos correctos, definiré alguna notación. Por comodidad, utilizaré la notación probabilística, pero en realidad sólo estamos hablando de contar.

Dejemos que $M$ sea la variable aleatoria correspondiente al número de hombres de una familia elegida al azar del conjunto de familias, y sea $W$ sea la cantidad correspondiente al número de mujeres de una familia elegida al azar. Sea $\mathcal M$ denota el número total de hombres, y $\mathcal W$ denota el número total de mujeres y deja que $\mathcal F$ denotan el número total de familias.

Nota importante: Las propias familias deben ser tratadas como constantes. No son muestras aleatorias extraídas de algún tipo de distribución ni nada parecido. Cuando utilizo la notación probabilística Cuando utilizo la notación probabilística, es por pura conveniencia: estoy interpretando la pregunta de forma combinatoria, y resulta que las construcciones probabilísticas como la varianza de la muestra hacen un buen trabajo para capturar ciertas cantidades combinatorias que son relevantes en esta pregunta.

Si quieres, estamos trabajando sobre el espacio de medidas discretas $(F, \mathcal P(F), \mathbb P)$ , donde $F$ es el conjunto de familias y $\mathbb P(A)=|A|/|F|$ para cualquier $A\subset F$ . $M$ es entonces la variable aleatoria definida por $M(f)=\textrm{number of men in $ f $}$ , mientras que $W(f)=\textrm{number of women in $ f $}$ . $\ex,\Var,\Cov$ tomarán todos sus significados habituales como media poblacional, varianza poblacional y covarianza de la población.

Queremos calcular el número medio de hermanos que tiene cada hombre. Para ello, contaremos dos veces el conjunto $A$ de pares $(m_1,m_2)$ tal que $m_1$ y $m_2$ son hermanos.

La primera forma de contar este conjunto será por familias. Para una familia $f$ , dejemos que $m_f$ denotan el número de hombres en la familia $f$ . Entonces tenemos \begin {align} |A|&= \sum_f m_f(m_f-1) \\ &= \mathcal F \ex (M(M-1)) \end {align} ya que en cada familia $f$ tenemos $m_f$ opciones para el primer hermano y $m_f-1$ opciones para el segundo hermano.

La segunda forma de contar este conjunto será por el hombre. Para un hombre $m$ , denótese por $b_m$ el número de hermanos que $m$ tiene. Entonces tenemos $$ |A|=\sum_m b_m $$ Por lo tanto: $$ \sum_m b_m=\mathcal F\ex(M(M-1)) $$ Entonces: \begin {align} \textrm {Número medio de hermanos que tiene un hombre}&= \sum_m b_m/ \mathcal M \\ &= \frac { \mathcal F}{ \mathcal M} \ex (M(M-1)) \\ &= \frac { \ex (M(M-1))}{ \ex M} \end {align}

Un argumento similar nos da $$ \textrm{Average number of brothers a woman has}=\frac{\ex(MW)}{\ex W} $$ En este segundo caso, si escribimos $w_f$ para el número de mujeres en la familia $f$ , entonces el número de pares $(w,m)$ tal que $w$ y $m$ son hermana y hermano es $m_fw_f$ .

Queremos demostrar que esta segunda cantidad es mayor que la primera. Intentemos reescribir primero cada cantidad.

\begin {align} \frac { \ex (M(M-1))}{ \ex M}&= \frac1 { \ex M} \left ( \ex M^2- \ex M \right ) \\ &= \frac1 { \ex M} \left ( \Var M+( \ex M)^2- \ex M \right ) \\ &= \frac { \Var M}{ \ex M} + \ex M - 1 \end {align}

mientras que

\begin {align} \frac { \ex (MW)}{ \ex W}&= \frac {1}{ \ex W} \left ( \Cov (M,W)+ \ex M \ex W \right ) \\ &= \frac { \Cov (M,W)}{ \ex W} + \ex M \end {align}

Por lo tanto, para que la media de hermanos que tiene una mujer sea mayor que la media de hermanos que tiene un hombre, tenemos que suponer que: $$ \frac{\Cov(M,W)}{\ex W}>\frac{\Var M}{\ex M}-1 $$

Podemos convertir esto en una condición que diga que el número de hombres por familia tiene que tener una varianza pequeña $$ \Var M<\ex M+\frac{\mathcal M}{\mathcal W}\Cov(M, W) $$

¿Es una suposición razonable? Suponiendo que el número de hombres en una familia es independiente del número de mujeres en esa familia, deberíamos esperar $\Cov(M, W)$ sea pequeño. Y si suponemos que el número total de hombres es aproximadamente igual al número de mujeres, entonces $\mathcal M/\mathcal W$ será aproximadamente igual a $1$ . Por tanto, las mujeres tienen más hermanos si y sólo si la varianza del número de hombres por familia es menor que $\ex M$ .

Este es un resultado sorprendente, ya que no hay ninguna razón para suponer que la varianza del número de hombres por familia debería ser menor que $\ex M$ . De hecho, los experimentos numéricos indican que $\Var M$ suele ser mayor que $\ex M$ Lo que significa que, de hecho, serán los hombres los que tengan más hermanos que las mujeres.

Así que la respuesta es que depende de lo numerosas que sean las familias, pero tu intuición de que las mujeres tendrán más hermanos es no es cierto en general incluso bajo suposiciones bastante fuertes. Si el número de hombres por familia varía mucho de una familia a otra, de hecho, son los hombres los que tienen más hermanos de media .

Este sorprendente resultado puede confirmarse fácilmente con un experimento numérico.

---

¿Cuál es la explicación? Bien, consideremos una situación en la que el número de hombres por familia varía mucho de una familia a otra. Supongamos también que el número de hombres por familia no está relacionado con el número de mujeres por familia.

Esto significa que habrá un número importante de familias con muchos hombres y muy pocas mujeres, y un número importante de familias con muchas mujeres y muy pocos hombres.

Ahora bien, dentro de cualquier familia, sabemos que las mujeres tendrán más hermanos que los hombres. Pero mira la contribución global a la media:

• El primer tipo de familia nos da muchos hombres con muchos hermanos, y un pequeño número de mujeres con muchos hermanos.
• El segundo tipo de familia nos da muchas mujeres con muy pocos hermanos, y un pequeño número de hombres con muy pocos hermanos.

Así que, por término medio, los hombres tenderán a tener muchos hermanos, y las mujeres tenderán a tener muy pocos, siempre que la varianza en el número de hombres sea lo suficientemente grande como para contrarrestar el hermano extra que tiene cada mujer. Cuando las familias son lo suficientemente grandes, ese hermano extra cuenta cada vez menos, y el efecto de la varianza se impone, dando precisamente el efecto contrario al esperado.

---

Echemos un último vistazo al resultado. Hemos comprobado que el factor importante es que la varianza del número de hombres por familia no sea demasiado grande. ¿Y si este valor fuera igual a cero? Eso significaría que todas las familias tienen el mismo número $a$ de los hombres, por lo que entonces sería ser cierto que las mujeres tienen más hermanos, ya que cada hombre tendría $a-1$ hermanos y cada mujer tendría $a$ hermanos.

La dependencia de la covarianza también es interesante. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos $\Cov(M,W)\le\sqrt{\Var M\Var W}$ y si suponemos que $\Var M$ y $\Var W$ son aproximadamente iguales, entonces tenemos $\Cov(M,W)\le\Var M$ . Este valor extremo se produce si $W=\lambda M$ para alguna constante positiva $\lambda$ . En ese caso, un simple argumento de conteo nos muestra que las mujeres tendrán una media de un hermano más que los hombres.