Interpretación geométrica del polinomio característico

Question

Los coeficientes de menor y mayor grado del polinomio característico de un operador lineal son su determinante y su traza. Estos tienen interpretaciones geométricas bien conocidas. Pero, ¿qué pasa con sus coeficientes intermedios?

Para un operador lineal $f : V \to V$ tenemos la hermosa fórmula

$$\chi(f) = det(f - t) = \sum_{i=0}^n (-1)^i\ tr(\wedge^{n-i}(f))\ t^i,$$

donde $\wedge^{p}(f)$ es el mapa inducido por $f$ en el grado $p$ de $V$ 'álgebra exterior'.

Aunque esta fórmula rara vez se menciona (al menos yo no la he visto en ninguno de los libros de texto estándar), no es demasiado sorprendente si se tiene un buen conocimiento del álgebra exterior. Presenta $\chi(f)$ como función generadora de las trazas exteriores de $f$ .

Mi pregunta es si estos trazos tienen una interpretación geométrica simple a la par que $tr$ y $det$ .

Answer 1

Una respuesta bastante sencilla es diferenciar el polinomio característico y utilizar su interpretación del determinante.

$$det(I-tf) = {t^n}det(\frac{1}{t}I-f) = (-t)^ndet(f-\frac{1}{t}I)= {(-t)^n}\chi(f)(1/t)$$

Así que si dejamos que $\chi(f)(t) = \Sigma_{i=0}^n a_it^i$ entonces ${(-t)^n}\chi(f)(1/t) = (-1)^n\Sigma_{i=0}^n a_it^{n-i}$

Pero $I-tf$ es el camino a través de la matriz de identidad, y $Det(A)$ mide la distorsión del volumen de la transformación lineal $A$ .

$$det(I-tf)^{(k)}(t=0) = (-1)^nk!a_{n-k}$$

y un cambio de variables ( $t\longmapsto -t$ ) da (y el superíndice $(k)$ indica $k$ -derivada)

$$det(I+tf)^{(k)}(t=0) = (-1)^{n+k}k!a_{n-k}$$

Así que los coeficientes del polinomio característico están midiendo las distintas derivadas de la distorsión del volumen, al perturbar la transformación de identidad en la dirección de $f$ .

$$a_k = \frac{det(I+tf)^{(n-k)}(t=0)}{(n-k)!}$$

Answer 2

Soy reacio a responder a una pregunta de este viejo que ya tiene una muy buena respuesta, sin embargo, viendo el título de la primera cosa que viene a mi mente es algo muy diferente de la existente respuesta (y tal vez va a ser útil para alguien que viene a través de esta pregunta).

Cuando $V$ es un finito dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$, entonces los coeficientes del polinomio característico son las coordenadas globales en ciertos espacios de moduli. Creo que de coordenadas globales, como el geométrico, ya que en general dan una incrustación del espacio en cuestión, y a veces también dan una explícita descripción geométrica (como en los ejemplos a continuación).

En primer lugar, los coeficientes de dar un coordiante sistema en el espacio de moduli de las representaciones de la $\mathbb{Z}$ a $GL(V)$. Para ver este primer identificar a $Hom(\mathbb{Z}, GL(V))$ con $GL(V)$, y, a continuación, los coeficientes del polinomio característico, llamarlos $c_1,....,c_n$ donde $n=\dim(V)$, son la conjugación de funciones invariantes $GL(V)\to \mathbb{C}$. Como ellos son simétricas polinomios en los autovalores (en el subconjunto denso de diagonalizable matrices) son algebraicamente independientes. Como la dimensión del espacio de moduli $Hom(\mathbb{Z}, GL(V))//GL(V)$ es $n$, tenemos un sistema de coordenadas global. El espacio de moduli se ve entonces a ser $\mathbb{C}^{n-1}\times \mathbb{C}^*$.

Ahora, si uno quiere permitir lineal general de operadores (aún suponiendo $V$ es finito dimensionales más de $\mathbb{C}$), a continuación, dar ideas similares que los coeficientes son las coordenadas globales en $End(V)//GL(V)$ que es isomorfo a $\mathbb{C}^n.$ Desde este punto de vista, la "interpretación geométrica del polinomio característico" es que sus coeficientes de dar el global de la geometría del espacio de moduli de los propios operadores.