¿Cómo se debe pensar en las topologías que no son de Hausdorff?

Question

En la mayoría de los cursos básicos de topología general, uno de los estudios, principalmente espacios de Hausdorff y encuentra que encajan bastante bien con nuestra intuición geométrica y, en general, funcionan las cosas "como se debe" (secuencias/redes han únicos límites, compacto conjuntos son cerrados, etc.). La mayoría de los espacios topológicos encontradas en los estudios de grado son de hecho Hausdorff, a menudo, incluso normativa o metrizable. Sin embargo, en algún momento uno se encuentra que no Hausdorff espacios surgen en la práctica, por ejemplo, la topología de Zariski en la geometría algebraica, la Cayó topología en teoría de la representación, el casco del núcleo de la topología en la teoría de la C*-álgebras, etc.

Mi pregunta es: ¿cómo se debe pensar (y trabajar) estas topologías? Me resulta muy difícil pensar en tales espacios topológicos como objetos geométricos, debido a la falta de la intuitiva Hausdorff axioma (y de sus consecuencias naturales). Con espacios de Hausdorff, a menudo tengo algunos claro, geométricas de la imagen en mi cabeza de lo que estoy tratando de probar y esta foto da una buena intuición para el problema en cuestión. Con los no-espacios de Hausdorff, esta imagen geométrica no siempre es útil y en el hecho de confiar en ella puede conducir a resultados falsos. Esto hace que sea difícil (para mí, al menos) para trabajar con topologías.

Como esta pregunta es un poco ambigua, supongo que debería hacer una wiki de la comunidad.

EDIT: Gracias por las respuestas! Tengo muchas buenas respuestas. Es lamentable que puedo aceptar sólo uno.

Answer 1

Por una variedad de razones, a menudo es útil desarrollar una intuición para finito de espacios topológicos. Dado que la única Hausdorff finito espacios son discretos, uno tendrá que lidiar con el no-Hausdorff caso, casi todo el tiempo.

El hecho del asunto es que la categoría de espacios finitos es equivalente a la categoría de finito pre-ordenes, es decir, finito de conjuntos equipado con una reflexiva y transitiva de la relación. En términos de una imagen, dibuje una flecha $x \to y$ entre los puntos de $x$ e $y$ siempre $x$ pertenece a la clausura de $y$ (o el cierre de $x$ está contenida en el cierre de $y$). Esto define una reflexiva y transitiva de la relación.

Dos puntos $x$, $y$ tienen la misma abierto barrios si y sólo si $x \to y$ e $y \to x$. De ello se desprende que la topología es $T_0$ (la topología puede distinguir puntos) si y sólo si el preorder es un poset, donde antisymmetry de $\to$ está satisfecho.

El cierre de un punto de $y$ es el conjunto {$x: x \to y$}, y un conjunto es cerrado si es hacia abajo cerrado el preorder. En el caso finito, creo que es cierto que cada cerrados irreducibles (uno de ellos que no es la unión de dos adecuada cerrado subconjuntos) es el cierre de un punto = principal ideal; si el punto es único, el espacio se llama espacio sobrio. Sobrio espacios son los tipos de espacios que surgen como subyacente espacios topológicos de los esquemas, y parece ser cierto que un espacio finito es sobrio iff es $T_0$.

Answer 2

Uno puede pensar en una topología en un espacio de $X$ como la abstracción de todos los "estable" de la información (o "medidas físicas"), uno puede decir acerca de un estado de $x$ en $X$ (es decir, el abierto de los barrios de $x$ en $X$).

Por ejemplo, considere el número real $\pi$ en ${\bf R}$ (con la topología usual). No podemos especificar $\pi$ exactamente de una manera estable, ya que puede perturbar $\pi$ un poco y no ser $\pi$. (En otras palabras, $\{\pi\}$ no está abierto.) Pero podemos decir, por ejemplo, que el $3.14 < \pi < 3.15$, y este es un estable pieza de información (esto es cierto incluso si nos perturban $\pi$ un poco). El Hausdorff la naturaleza de la línea real, a continuación, nos permite demostrar que las dos cantidades son distintas, incluso si sólo se nos permite acceder a ellos de una manera estable. Por ejemplo, $\pi$ e $e$ puede ser estable demostrado ser distinto, porque tenemos una medición estables $3 < \pi < 4$ de % de $\pi$ y una medición estables $2 < e < 3$ que son distintos el uno del otro.

Ahora trabajamos en cambio con la topología de Zariski. Aquí, no se nos permite utilizar la $\lt$ señal para tomar medidas estables (ahora estamos en el algebraicas mundo en lugar de la semi-algebraicas mundo). La única manera de hacer medidas estables, entonces, es el uso de la $\neq$ signo (en relación con la costumbre de las operaciones aritméticas). Por ejemplo, uno puede decir que el $\pi$ no es igual a $3$ que $\pi^2$ no es igual a $10$, y así sucesivamente. Este es, por supuesto, mucho más débil de la topología. En particular, no es posible utilizar estable de las mediciones de forma estable separada $\pi$ a partir de $e$. ($\pi$, por supuesto, no obedecer a la medición estables $\pi \neq e$, e $e$ obedece a la medición estables $e \neq \pi$, pero esto no ayuda, porque la estable (es decir, abierto) establece $\{ x: x \neq e \}$ e $\{ x: x \neq \pi\}$ no son disjuntas, y por lo que estas medidas estables no la fuerza de la distinción. En más de notación estándar, la topología de Zariski es $T_0$ pero no Hausdorff.) [Esto no tiene nada que ver con la naturaleza trascendental de $\pi$ o $e$; también falla en la separación, dicen, $0$ e $1$, en la topología de Zariski.]

[También se puede tomar una medida orientada a la perspectiva a otros aspectos de la topología de Zariski. Así, por ejemplo, un conjunto $E$ es Zariski-denso si no hay manera de excluir a un punto arbitrario $x$ desde la posición de acostado en $E$ el uso de solamente medidas estables de $x$. Como la topología de Zariski es tan débil, esto es bastante débil de la propiedad; hay un montón de Zariski densos conjuntos.]

En general, no Hausdorff topologías son generalmente muy débil topologías, en el que hay muy pocos estable mediciones disponibles y por lo tanto es difícil de lograr de forma estable por separado puntos distintos el uno del otro. El caso más extremo es la topología trivial, en el que los no-trivial de las mediciones están disponibles en todos.

Answer 3

Algunos de los no-Hausdorff topologías que suba no son realmente tan difícil de conseguir a una intuición para. Por ejemplo, usted puede pensar de la topología de Zariski en un clásico variedad algebraica $V$ como de ser sólo una colección de información que describe todas las subvariedades de $V$ (por ejemplo, la topología de Zariski en $\mathbb{A}^3_k$ describe todas las curvas algebraicas, las superficies y los puntos en el espacio de 3 dimensiones).

Podría parecer a primera vista que las topologías involucradas obtener difícil de entender cuando nos movemos a partir de las variedades de esquemas, pero realmente la topología de un esquema que no es difícil conseguir una manija en cualquiera de los dos. La clave para la comprensión de las topologías de los sistemas es comprender el genérico puntos y comprender estos sólo necesita obtener alguna intuición sobre el concepto de la especialización y la generalización.

Dados dos puntos $x,y$ en un espacio topológico $X$, podemos decir que el $x$ es una especialización de $y$ (o $y$ es una generalización de $x$) si $x$ está contenida en el cierre de $y$. Lo que esto significa es que el $y$ está contenida en cada abrir barrio de $x$. Me gusta pensar en esto como lo que significa que $y$ es infinitesimalmente cerca de $x$. Del mismo modo, dado un subconjunto $F\subseteq X$ decimos que un punto de $x\in F$ es un punto genérico de $F$ si $F$ es el cierre de $x$. Evidentemente una condición necesaria para que un $F$ a poseer un genérico punto es que $F$ ser (no vacío) irreductible subconjunto cerrado de $X$. No es difícil mostrar que en un $T_0$-espacio cada irreductible cerrado subconjunto tiene más de un punto genérico. Pero en realidad, la topología de un sistema es mejor que este: la topología de un sistema tiene la propiedad de que cada (no vacío) irreductible cerrado subconjunto tiene un único punto genérico. (Tales como el espacio se llama espacio sobrio).

Cómo deberíamos pensar acerca de esto? Bueno, si $F$ es un cerrado irreducible subconjunto de $X$ e $\xi$ es un punto genérico de $F$, entonces esto significa que cada punto de $F$ es una especialización de $\xi$; en otras palabras $\xi$ está contenida en cada abrir de vecindad de cada punto en $F$. Así que este punto genérico es infinitesimalmente cerca de todos los puntos en $F$. Ahora, en un sobrio espacio en el mapa enviar a un punto a su cierre proporciona un bijection entre el conjunto de puntos del espacio y el conjunto de no-vacío irreductible cerrado subconjuntos del espacio. Así que si usted toma cualquier esquema de $X$, el cierre de los puntos son los puntos que usted debe pensar como los puntos formación de un "espacio geométrico", y todos los otros puntos son simplemente genéricos, puntos de los diversos irreductible cerrado subconjuntos de este espacio, cada punto cerrado describe un único irreductible subconjunto cerrado.

Por ejemplo, considere el esquema de la versión de los afín avión: $\mathbb{A}^2_k=Spec(k[X,Y])$. El subespacio cerrado de puntos (es decir, la máxima ideales) es homeomórficos a la habitual variedad afín plano con la topología de Zariski; todos los demás puntos del programa son sólo genérico puntos, describiendo todas las subvariedades del plano afín.

Algo de esto puede ser un poco vago o impreciso, pero el punto es que no es demasiado duro para desarrollar algunos intuición para la (no-Hausdorff) topologías derivadas de la geometría algebraica.

Answer 4

No sé si esto es relevante, pero aquí hay una observación fácil y a veces útil sobre espacios que solo tienen muchos puntos:

La topología está determinada por la relación entre los puntos "p está en el cierre de q", y esta puede ser cualquier relación transitiva y reflexiva.

Esto se aplica más generalmente a espacios en los que la unión de un conjunto arbitrario de conjuntos cerrados está cerrada

Answer 5

Ya que se refiere a la intuición, esto no es, posiblemente, demasiado off-topic.

En un sentido, el arquetipo de la topológica de las categorías es, cómo muy elemental de los seres de percibir el mundo. Si yo fuera una ameba, me gustaría que posiblemente es entender el espacio como lugares cercanos, o menos cerca de mí, de otra manera no estructurada. Yo no tendría métrica en particular la idea de mi propia forma; yo acababa de sentirse más o menos conectados, &c. Así, una posible respuesta a su pregunta es: como un sordo de la ameba.

Para hacer un ejemplo, posiblemente más cerca de nosotros, pensar que estás en un coche en el tráfico urbano. Debido a calles de un solo sentido, métrica no es la mejor manera de organizar su percepción del espacio: en realidad, la propia topología de hacer que no es, posiblemente, Hausdorff (por lo general, usted no puede mover a Un sin de inmediato la búsqueda de sí mismo en B, y una vez que están en la B, que son enormemente muy lejos de Una, incluso si ha cambiado de opinión acerca de la oportunidad del movimiento.)