El óptimo de la tasa de crecimiento de la es $\tau:= (1+\sqrt{5})/2$. Específicamente, para cualquier $\epsilon>0$, hay infinitamente muchos valores enteros polinomios delimitada por $(\tau+\epsilon)^n$, pero sólo un número finito de debajo de $(\tau-\epsilon)^n$. La primera parte de esta respuesta (primero) demuestra la finitud; la segunda utiliza Noam Elkies' idea combinado con un teorema de Fekete para demostrar la infinitud.
Fix $\epsilon>0$. Voy a demostrar que hay sólo un número finito de valores enteros polinomio $f(z)$ con $|f(n)| < (\tau-\epsilon)^n$.
Deje $f$ ser un polinomio de grado $d$. Conjunto
$$\frac{p(z)}{(1-z)^{d+1}} = \phi(z) = \sum_{n=0}^{\infty} f(n) z^n$$
A continuación, $p(z)$ tiene coeficientes enteros, $p(1) \neq 0$, y tenemos la oportunidad única de recuperar $f$ de $p$. Por otra parte, hay algunos $M$ y algunos $\delta_1>0$ (dependiendo de la $\epsilon$) por lo que el $|\phi(z)| < M$ a $|z|=\tau^{-1}+\delta_1$.
Hacemos el cambio de variables $u = 1/(1-z)$, lo $z=1-1/u$. Tenemos $\phi(1-1/u) = p(1-1/u) u^{d+1}$. Set $q(u) = p(1-1/u) u^{d+1}$. A partir de las propiedades de $p$ por encima de, $q$ es un polinomio con coeficientes enteros de grado $d+1$, e $|q(1/(1-z))| < M$ al $|z|=\tau^{-1}+\delta_1$. El mapa de $z \mapsto 1/(1-z)$ envía $|z|=\tau^{-1}+\delta_1$ a un círculo que contiene el círculo de radio $1+\delta_2$ todo $\tau$ (para algunos $\delta_2>0$). Así, utilizando el máximo de módulo principio, $|q(u)|<M$ sobre el círculo de radio $1+\delta_2$ todo $\tau$.
Por lo tanto, hacer un cambio de coordenadas, $v=u-\tau$ e $s(v) = q(v+\tau)$, para obtener un polinomio $s$ con $|s(v)|<M$ sobre el círculo de radio $1+\delta_2$ todo $0$. A pesar de $s$ no tiene coeficientes enteros, su líder plazo $v^{d+1}$ es un número entero distinto de cero.
Elija $D_1$ suficientemente amplio que $2 \pi M (1+\delta_2)^{-D_1-1} <1$. Entonces, para $D_2 \geq D_1$, teniendo una integral de contorno alrededor de $|v|=1+\delta_2$ muestra que el coeficiente de $v^{D_2}$ en $s(v)$ tiene valor absoluto $<1$. Dado que el coeficiente de $v^{d+1}$ es un número entero distinto de cero, con esto se establece que el $d<D_1$. Así que hemos acotado el grado de $f$. Por lo tanto, $f$ está determinada por sus valores en $D_1$ enteros, y sólo hay un número finito de posibles polinomios $f$.
Ahora para la inversión de obligado. Este argumento está basado en la prueba de Fekete del Teorema de aquí. (El artículo original está aquí, pero yo no hablo alemán así que no he comprobado si son el mismo argumento.)
Nuestro primer objetivo es establecer lo siguiente: Vamos a $r < 1$. Existe un polinomio distinto de cero $q(u)$ con coeficientes enteros, de modo que $|q(u)|<1$ sobre el círculo de $|u-\tau|<r$.
Elegir un número entero $T$ suficientemente grande como para que, por cualquier $N > T$, tenemos
$$r^N + (1/2) r^{N-1} + (1/2) r^{N-2} + \cdots + (1/2) r^{T+1} + (1/2) r^T < 1/3.$$
Tome $N$ mayor que $T$. Definir $q^N_N(u) = (u-\tau)^N$. Definir $q^N_i(u)$ a ser el único polinomio de la forma
$$q^N_i(u) = q^N_{i+1}(u) + \theta_i \cdot (u-\tau)^{i}$$
de modo que $|\theta_i| \leq 1/2$ y el coeficiente de $u^{i}$ en $q^N_i$ es un número entero. Set $q^N(u) = q^N_T(u)$. Por lo que el coeficiente de $u^k$ en $q^N(u)$ es un número entero para $T \leq k \leq N$.
Para $u$ sobre el círculo de $|u-\tau|=r$, obtenemos
$$|q^N_T(u)| \leq r^N + (1/2) r^{N-1} + \cdots + (1/2) r^T < 1/3.$$
Deje $(c^N_{T-1}, C^N_{T-2}, \ldots, c^T_0)$ ser el último,$T$, no entera, los coeficientes de $q^N$. Por el principio del Palomar, podemos encontrar $q^M$ e $q^N$, de modo que
$$\sum_i |\{ c^N_i - c^M_i \}| r^i < 1/3$$
donde $\{ x \}$ es la distancia de $x$ al entero más cercano. Definimos $q(u)$ a ser el resultado de la toma de $q^N(u) - q^M(u)$ y el redondeo de los últimos $T$ coeficientes al entero más cercano. Ahora hemos construido $q$.
Ahora deshacer el argumento anterior. Desde $|q(u)|<1$ para $|u-\tau|<r$, tenemos $|q(1/(1-z))|<1$ sobre el disco con diámetro de $(1-(\tau+r)^{-1}, 1-(\tau-r)^{-1})$. Este contiene el círculo de radio $\tau^{-1} - \delta_1$ sobre $0$ donde $\delta_1 \to 0$ as $r \to 1$. Así que Noam argumento de construcciones infinidad de polinomios delimitada por $(\tau+\delta_2)^n$.
Sólo por la diversión de hacerlo, he utilizado el de arriba de la construcción para encontrar un polinomio $\sum_{i=1}^{20} \theta_i (u-\tau)^i$ con $|\theta_i| < 1/2$ y todos los coeficientes de
otros que el término constante de la integral. El término constante resultó ser $-3878005 + 1739105 \sqrt{5} \approx 10752.00000977$. Si me ronda que fuera a $10752$, el polinomio resultante de factores como el $(2 - u)^9 (1 - u)^5 (3 - 3 u + u^2) (7 - 15 u + 14 u^2 - 6 u^3 + u^4)$. Haciendo la sustitución de variables sugiere que nuestra próxima familia de polinomios deben ser los coeficientes de
$$\frac{1}{1-z} \left( \frac{z^5 (1 - 2 z)^9 (1 - 3 z + 3 z^2) (1 - 5 z + 11 z^2 - 13 z^3 + 7 z^4)}{(1 - z)^{20}} \right)^m.$$
De las cuatro raíces de $7 - 15 u + 14 u^2 - 6 u^3 + u^4$, dos están a distancia $0.883514$ de $\tau$ y dos están a distancia $1.02472$. Mucho más allá de la $N=20$, mi ingenuo implementación de las veces.
