¿Se conoce esta identidad diferencial?

Question

Recientemente he descubierto la identidad diferencial

$$ \frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}} (1+x^2)^{k/2} = \frac{(1 \times 3 \times \dots \times k)^2}{(1+x^2)^{(k+2)/2}}$$

válido para cualquier número natural impar $k$ por ejemplo $\frac{d^6}{dx^6} (1+x^2)^{5/2} = \frac{225}{(1+x^2)^{7/2}}$ . Esta identidad fue sorprendente al principio, ya que normalmente la aplicación repetida de la regla del producto y de la regla de la cadena conduce a expresiones mucho más complicadas que ésta, pero ahora hay varias pruebas que explican adecuadamente esta identidad (recogidas en esta entrada de mi blog ). También existe la identidad más general

$$ |\frac{d}{dx}|^{2s-1} (1+x^2)^{s-1} = \frac{2^{2s-1}\Gamma(s)}{\Gamma(1-s)} (1+x^2)^{-s}$$

válido para cualquier complejo $s$ (si todo se interpreta de forma distributiva), que está relacionada con los isomorfismos entre representaciones de series principales de $PGL_2({\bf R})$ .

El objetivo de mi pregunta es no para pedir más pruebas de esta identidad (pero son bienvenidos a visitar la mencionada entrada del blog para contribuir con otra prueba, si lo desean). En su lugar, pregunto si esta identidad (o algo parecido) ya aparece en la literatura - me cuesta creer que una identidad tan sencilla haya pasado desapercibida durante siglos, dado que podría haber sido descubierta y demostrada fácilmente por (digamos) Euler. La coincidencia más cercana que conozco hasta ahora son las Fórmulas Rodrigues para los polinomios ortogonales clásicos, pero no he sido capaz de situar la identidad anterior como un caso especial de estas fórmulas (los exponentes no coinciden del todo).

Answer 1

Es la fórmula Rodrigues para Polinomios de Gegenbauer $C_n^{(\alpha)}(x)$ en el caso especial $\alpha=-n/2$ cuando el polinomio es sólo la unidad.

La fórmula general es la siguiente

$$C_n^{(\alpha)}(x)=\frac{(-2)^n}{n!}\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}(1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right].$$

Sustitución de $\alpha=-n/2$ con $C_n^{(-n/2)}(x)=1$ para $n$ incluso, da

$$1=\frac{(-2)^n(n/2)!}{n!(n-1)!}\lim_{\alpha\rightarrow-n/2}\frac{\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)}(1-x^2)^{(n+1)/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{(n-1)/2}\right]$$

$$\qquad = (-1)^{n/2}\left(\frac{1}{(n-1)!!}\right)^2(1-x^2)^{(n+1)/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{(n-1)/2}\right],$$

o con $x\to ix$ ,

$$\frac{d^n}{dx^n}\left[(1+x^2)^{(n-1)/2}\right]=[(n-1)!!]^2(1+x^2)^{-(n+1)/2},$$

que es la expresión deseada.

Answer 2

Esto puede considerarse como un caso de la fórmula de reversión de Lagrange.

Considere la ecuación $v = x + y \sqrt{1+v^2}$ (donde $v$ es una función de $x$ y $y$ ). Tiene una solución explícita

$$ v = \dfrac{\sqrt{1+x^2-y^2}\; y - x}{y^2-1} $$

Reversión de Lagrange (con $f(x) = (1+x^2)^{1/2}$ y $g = \arctan$ ) puede escribirse como

$$ \eqalign{\arctan(v) - \arctan(x) &= \sum_{j=0}^\infty \dfrac{y^{j+1}}{(j+1)!} \left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right)^{j} (f(x)^{j+1} g'(x))\cr &= \sum_{j=0}^\infty \dfrac{y^{j+1}}{(j+1)!} \left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right)^{j}(1+x^2)^{(j-1)/2} } \tag{1} $$

Tomar la derivada parcial con respecto a $y$ ; resulta que

$$ \eqalign{\dfrac{\partial }{\partial y} \arctan(v) &= \dfrac{1}{1+v^2} \dfrac{\partial v}{\partial y} = \dfrac{-1}{\sqrt{1+x^2-y^2}}\cr &= -\sum _{k=0}^{\infty } (1+x^2)^{-k-1/2}{\frac { \left( 2\,k \right) !}{ 4^k \;\left( k! \right) ^{2}}} y^{2k} }$$

Por lo tanto, al igualar los coeficientes de $y^{2k}$ aquí y en la derivada parcial del lado derecho de (1), se obtiene la fórmula.

Answer 3

Este es un argumento de inducción directa. Sea $h_k(x):=(1+x^2)^{k/2}$ , $g(x):=x$ , $p_k:=(1\times3\times\dots\times k)^2$ . La identidad en cuestión es $$D^{k+1}h_k=p_k/h_{k+2}$$ para el positivo de impar $k$ , donde $D$ es el operador de diferenciación. Es fácil comprobarlo para $k=1$ . Entonces para impar $k\ge3$ $$D^{k+1}h_k=k D^k(gh_{k-2})=kg D^k h_{k-2}+k^2 D^{k-1}h_{k-2}$$ $$=kg D(p_{k-2}/h_k)+k^2 p_{k-2}/h_k=p_k/h_{k+2},$$ como se desea; para la tercera igualdad en la pantalla anterior utilizamos la inducción, y para la segunda la regla de Leibniz.