¿Cuántos cilindros unitarios pueden tocar una bola unitaria?

Question

¿Cuál es el máximo número de $k$ de radio de la unidad, infinitamente larga cilindros mutuamente disjuntas interiores que se puede tocar a una unidad de la bola?

Por un cilindro me refiero a un conjunto congruente con el producto Cartesiano de una línea y un disco circular. Las ilustraciones, copiados de los 2, se muestran varias configuraciones de seis cilindros, quizás todo lo posible - hasta isometría. La pregunta es de aproximadamente 25 años de edad; la respuesta es conjeturó a ser 6, pero la conjetura está todavía sin confirmar. Heppes y Szabó 1 demostró en 1991 que $k\le 8$; nueve años más tarde de Latón y Wenk 2 mejora de este resultado a $k\le 7$. También, nos gustaría saber:

Lo que hace el espacio de configuración de seis unidades de cilindros de tocar una unidad de pelota?

En particular:

Es la configuración de un espacio conectado?

Aún más específicamente, en referencia a las configuraciones que se muestran a continuación:

Dentro de la configuración del espacio, es una transición continua posible a partir de la configuración en las Figuras 1 y 2 para la configuración de la Figura 3?

La última pregunta puede ser posible verificar por un candidato natural, pero los cálculos necesarios parecer demasiado tedioso para mí...

1 Heppes, Aladar y Szabó, Laszló. "En el número de cilindros de tocar una pelota." Geom. Dedicata 40 (1991), no. 1, 111-116; MR1130481.

2 de Bronce, Pedro y Wenk, Carola. "En el número de cilindros de tocar una pelota." Geom. Dedicata 81 (2000), no. 1-3, 281-284; MR1772209.

Answer 1

Aquí es una idea. Considere la siguiente parametrización, que se supone que cubre el espacio de configuración en cuestión.

$$\mathcal{C}_7:=\left\{\pmatrix{x_k\\y_x\\z_k},\pmatrix{a_k\\b_k\\c_k}_{1\leq k\leq 7}\in{\mathbb{R}^{3\times 2}}^7\,\middle |\, \text{such that conditions 1.-4. are satisfied} \right\}$$

Condiciones:

1. $x_k^2+y_k^2+z_k^2=1$
2. $\left\langle\pmatrix{x_k\\y_k\\z_k},\pmatrix{a_k\\b_k\\c_k} \right\rangle=0$
3. $a_k^2+b_k^2+c_k^2=1$
4. $d(l_i,l_j)\geq 2$ para $1\leq i<j\leq 7,$ donde se define la línea de $$l_k:=\left\{2\pmatrix{x_k\\y_k\\z_k}+\alpha\pmatrix{a_k\\b_k\\c_k}\,\middle|\,\alpha\in\mathbb{R} \right\}$$ and denote with $d(\cdot,\cdot)$ la distancia entre dos líneas.

Tenga en cuenta que la condición 4. puede ser reescrito como polinomio desigualdades. Por lo tanto $\mathcal{C}_7$ es un semi-algebraicas conjunto en $\mathbb{R}^{42}$.

El $(x,z,y)$ son los puntos, en donde la unidad de cilindro es tangente a la unidad de la esfera. El correspondiente $(a,b,c)$ da la dirección en el espacio de la tangente y de las líneas de $l$ son los núcleos de los cilindros. (Tenga en cuenta que $(-a,-b,-c)$ da el mismo cilindro.)

A la pregunta "Es $\mathcal{C}_7$ vacío?" debe ser decidable. Tal vez una aproximación algorítmica podría ayudar desde aquí.

Para las otras preguntas que el estudio de un análogos definidas $\mathcal{C}_6$, lo cual sabemos no puede ser vacío podría ser vale la pena.

Yo escribí un pequeño programa que intenta encontrar puntos de la semi-algebraica de conjuntos. Esto es lo que encontrado por $\mathcal{C}_6$ (haga clic aquí para ver una animación).

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Vamos a tomar un punto de vista ligeramente diferente. Fijar el radio de la bola de a se $1$, pero vamos a los radios de las $k$ cilindros variar mientras se asegura de que todos los cilindros tienen el mismo radio. Entonces podemos preguntar: ¿Cuál es el mayor radio de $r_k$, por lo que nos podemos encontrar en $k$ no se solapan los cilindros de radio $r_k$, que toque la unidad de la bola? Por lo tanto la pregunta es: $r_7\geq 1?$

Un evidente límite inferior en $r_k$ proviene del embalaje que permite que una sección ecuatorial que es un círculo de embalaje, como por $k=6$ en la figura 1 y la figura 2 en la pregunta del post. Por tanto, tenemos: $$r_k\geq \frac{\operatorname{sin}(\frac{\pi}{k})}{1-\operatorname{sin}(\frac{\pi}{k})}$$ Aquí está una lista de aproximaciones decimales para las pequeñas $k$s: $$\begin{array}{c|cccccc}k&3&4&5&6&7&8\\\hline \frac{\operatorname{sin}(\frac{\pi}{k})}{1-\operatorname{sin}(\frac{\pi}{k})} &6.464101& 2.414213& 1.425919& 1& 0.766421& 0.619914\end{array}$$ Tal vez sorprendente resultado de mis cálculos es el hecho de que $r_6>1$, de hecho $$r_6> 1.04965$$ Así que en otras palabras es la configuración de $6$ cilindros donde los cilindros de radio mayor que $1.04965$. Aquí está una foto de la configuración (de nuevo, haga clic aquí para ver una animación):

También me atrajo cilindros de radio $1$ con la misma tangente puntos, por lo que se puede ver la diferencia.

El espacio de configuración puede ser visto como subconjunto de la $6$la potencia de la unidad de la tangente paquete de la esfera $(T^1(S^2))^6$ (ver condiciones 1.-4. y Henrik Rüping del comentario).

El resultado de la búsqueda de una configuración con un amplio radio es: el espacio de configuración contiene un subconjunto abierto de $(T^1(S^2))^6$ y por lo tanto es $18$-dimensiones localmente.

Editar:

Aquí está la lista de los límites inferiores en $r_k$ para las pequeñas $k$:

• Para $k=3$ e $k=4$ I conjetura de la trivial obligado para $r_k$ dado anteriormente a ser fuerte.
• Para $k=5$ uno puede encontrar una configuración que se muestra: $r_5>1.45289>1.425919$
• Para $k=6$ tenemos $r_6>1.04965 >1$ como se mencionó anteriormente.
• Para $k=7$ he encontrado una configuración que muestra $r_7>0.846934>0.766421$. Aquí está una foto de esta configuración (de nuevo, haga clic aquí para ver una animación):

Answer 2

Para un javascript prestados modelo 3D de la ruta de las configuraciones de lo informado por Ogievetsky y Shlosman en arXiv:1805.09833 ver esta página en mi sitio web.

Las configuraciones en esta ruta se compone de dos "tres polos tipis" señaló en antipodal direcciones. Esto también es cierto de la Figura 3 en la configuración de la pregunta. Pero la diferencia crucial es que en Ogievetsky y Shlosman configuraciones, los dos tipis son tanto para diestros. En la Figura 3, los dos tipis tienen diferentes imparcialidad.

Puede configurar el cálculo del sistema operativo en el caso de la otra mano tipis. Solo cambie $\delta$ a $-\delta$ para $D$, $E$, y $F$ en la Ecuación (5). Ahora la solución para $d_{AB}=d_{AD}=d_{BD}$ es incluso más fácil. De $d_{AD}=d_{BD}$ I get $\varkappa=0$, y de $d_{AB}=d_{AD}$, me sale $$s+\frac{3(s-1)}{t+4-3s}+\frac{s-s^2}{s+t}=0\text,$$ donde $s=(\sin\phi)^2$ e $t=(\tan\delta)^2$.

Hay dos soluciones reales para $t$ al $0\le s\le \tfrac13$, y, a continuación, las soluciones son complejas para $\tfrac13<s\le1$. Todas las soluciones reales de dar $d_{AB}=d_{AD}=d_{BD}\le1$, con igualdad sólo para la solución doble $s=\tfrac13$, $t=1$, que es la Figura 3.

Answer 3

Esto no es una respuesta completa, pero una propuesta de enfoque para demostrar que la configuración que se muestra en la figura 3 está bloqueado. Espero que no es ingenuo.

Consideramos que una continua perturbación de la configuración y desea demostrar que es obtenido mediante la aplicación de una continua deformación de la identidad en $\mathrm{SO}(3)$.

Paso 1: mirar dos cilindros opuestos, y mostrar que sus puntos de contacto con la esfera, debe permanecer antipodal. Este debe contener, porque de lo contrario uno de los otros cuatro cilindros probablemente no habría suficiente espacio a la izquierda.

Paso 2: considerar de nuevo las dos cilindros opuestos, y demostrar que se quedan en paralelo. Este debe contener, porque de paso 1: podemos suponer que sus puntos de contacto con la esfera, que son fijos, y entonces si que gire en la dirección opuesta y luego otro par de opuestos cilindros deben girar en direcciones opuestas, lo que a su vez restringe el movimiento de la última pareja; si estoy en lo cierto, este último par a su vez restringe el primer par de giro en la dirección contraria a la que no se tuerza. En este argumento, supongo que la paridad de la dimensión de la materia, por lo que el $4$-dimensiones de la versión de que el problema tiene una solución diferente.

Paso 3: a la conclusión de la prueba. Podemos asumir que un determinado par de cilindros opuestos es fijo; el segundo par está restringido a girar en el plano que contiene sus ejes (al menos en un primer orden), que la rotación es impedido por el tercer par.