Dejemos que $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^2$ sea un mapa continuo que envía cualquier intervalo $I \subseteq \mathbb{R}$ a un subconjunto convexo $f(I)$ de $\mathbb{R}^2$ . ¿Es cierto que debe haber una línea en $\mathbb{R}^2$ que contiene la imagen $f(\mathbb{R})$ de $f$ ?
Sí, esta pregunta parece bastante elemental, pero ya he dedicado (¿o perdido?) demasiado tiempo a este endiablado problema, y he comunicado esta cuestión a suficientes personas como para saber que está lejos de ser trivial...
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Estoy lejos de ser un experto así que no estoy seguro de si esto tiene sentido, de todos modos, ¿intentaste construir un contraejemplo utilizando algún tipo de curva de llenado de planos?
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Sí, lo he intentado. Si uno pretende construir un contraejemplo, entonces se puede discretizar toda la situación, y tratar de dibujar un camino en un $n \times n$ rejilla tal que 1) el camino llena el cuadrado y 2) satisface la condición de convexidad en un sentido aproximado apropiado. El problema es que para poder extraer un límite hay que asegurar la equicontinuidad de nuestra familia de caminos. Nunca he conseguido extraer una familia de trayectorias equicontinua que satisfaga los puntos 1) y 2) anteriores (pero, por supuesto, eso no significa que no sea posible).
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Gracias, Jairo, ¡era exactamente lo que buscaba! Por cierto, tu comentario debería ser una respuesta.