Deje $\theta = \tan^{-1}(t)$. Hoy en día se enseña:
1º que $$ \frac{d\theta}{dt} = \frac 1{dt\,/\,d\theta} = \frac 1{1+t^2}, \tag1 $$
2º que, a través del teorema fundamental del cálculo, esto es equivalente a $$ \theta = \int_0^t\frac{du}{1+u^2}, \tag2 $$
3º que, desarrollando el integrando en una serie geométrica y la integración de término por término, este se convierte en el Nilakantha Madhava-Gregory-fórmula de Leibniz
$$
\theta = t - \frac{t^3}3+\frac{t^5}5-\frac{t^7}7+\dots.
\tag3
$$
Pregunta: Quien primero demostró $(1)$ en la impresión como nosotros, mediante la derivación de una función inversa?
Yo no lo encuentro en Nilakantha:
De acuerdo a Ranjan Roy (1990, pág.300), Nilakantha publicado por primera vez $(3)$ sin pruebas en su Tantrasangraha (1501); un posterior comentario conocida como Yuktibhasa contiene una prueba por la rectificación de un arco de círculo, que es hermoso, pero ciertamente no es lo mismo que $(1)$.
Yo no lo encuentro en Gregory:
Según Dehn & Hellinger (1943, pág.149), Gregorio comunicada $(3)$ en un año 1671 carta a Collins, y nunca publicó una prueba; la especulación existe de que él la encontró derivando $\tan^{-1}$ bastantes veces la figura de su serie de Taylor en $0$, pero, en cualquier caso, él no dejó rastro de cómo se han calculado estos derivados.
Yo no lo encuentro en Leibniz:
De acuerdo con González-Velasco (2011, pág.347), Leibniz comunicada $(3)$ en 1674 cartas a Oldenburg y Huygens, y más tarde publicó el caso de $t=1$ en Acta Eruditorum (1682, pp 41-46); su inéditos se dispone de pruebas (muchas veces) en el a+ 700 páginas de sus Obras completas, Vol. VII,6. Allí, o en la bonita exposición dada en Hairer & Wanner (1996, 2ª impresión, páginas 49-50), se ve que él era encontrarle la cuadratura al círculo en un complicado camino que no tiene nada que ver con $(1)$.
Por supuesto, Leibniz debe haber sido consciente de $(1)$ e $(2)$ en algún momento, como (más tarde!) inventor de la notación que hace casi automática. Por desgracia, no puedo encontrar ninguna evidencia escrita de que. Tal vez alguien más va a tener mejor suerte!
(Lo más cercano que puedo encontrar es un 1707 carta de Wolff, Leibniz, donde la nueva notación se utiliza para escribir, en efecto, a $d\theta = dt:(1+t^2)$, y luego deducir $(2)$ e $(3)$. Los dos corresponsales bien puede haber tenido en mente la moderna prueba de $(1)$ de esta relación diferencial, pero tampoco lo dice.)
Yo no lo encuentro en Jacob Bernoulli:
Con la notación de Leibniz, la difusión, uno podría pensar que un discípulo escribiría $(1)$ a la primera oportunidad. Pero eso no es lo que Jacob no hace tanto que rápidamente encontrarle la cuadratura al círculo en Positionum de Seriebus Infinitis Pars Tertia (Basilea, 1696, Prop. XLV): termina la integración de $dt:(1+t^2)$, pero para él este diferencial no viene de $(1)$ pero de $dx:2\sqrt{2x-x^2}$ a través de un inteligente ("diophantine") de sustitución.
Yo no lo encuentro en Johann Bernoulli:
Cuando se enfrentan con la tarea de integrar las $dt:(1+t^2)$ en su papel racional de las integrales (1702), Johann propone dos sustituciones:
La primera (en Probl. Yo, Corol.) viene de la fracción parcial de la descomposición $\frac1{1+t^2}=\frac{1/2}{1+it} + \frac{1/2}{1-it}$, y consiste en la puesta $u = \frac{1+it}{1-it}$, de modo que $ \frac{dt}{1+t^2} = d\left[\frac1{2i}\log\frac{1+it}{1 -}\right] $.
El segundo (Probl. II) consiste en la puesta $u=\frac1{1+t^2}$, de modo que $\frac{dt}{1+t^2} = \frac{-du}{2\sqrt{u-u^2}}$, que el diferencial de Bernoulli reconoce (¿cómo? él no dice) como que "de un sector circular o de arco", es decir, nuestra $d\theta$.
Ninguno de estos es el de sustitución de $\theta = \tan^{-1}(t)$, que a través de $(1)$ habría llevado directamente a $\frac{dt}{1+t^2} = d\theta$. Y en posteriores trabajos (1712, 1719) de Bernoulli es contenido para describir esta relación como "conocido".
Yo no lo encuentro en Euler:
Euler era, por supuesto, bien consciente de $(2)$, que aparece por ejemplo en la línea 2 de este documento escrito en 1739. Pero cuando se trata de demostrar $(2)$ o $(3)$,, de nuevo él esquiva $(1)$:
En su libro de precálculo (1748, §§139-140), él decide establecer, en primer lugar de Bernoulli de la fórmula anterior $$ \theta = \frac1{2i}\log\frac{1+it}{1 -} \tag4 $$ (esto se hace multiplicando el numerador y el denominador por $\cos\theta$ por lo que se convierten $e^{\pm i\theta}$) y, a continuación, para deducir $(3)$ conectando $it$ en la serie de $\log\frac{1+x}{1-x}$. Nada de esto requiere $(1)$, $(2)$, o de cualquier cálculo.
En su cálculo diferencial libro (1755, §§194-197), lo primero que diferencia a un similar logarítmica fórmula para $\theta = \sin^{-1}(s)$, es decir,$\theta = -i\log(\sqrt{1-s^2} + is)$, para obtener $$ d\theta = \frac{ds}{\sqrt{1-s^2}}; \tag5 $$ conectar $s = t/\sqrt{1+t^2}$ a $(5)$ luego le da $(2)$. Él bien podría haber diferenciado $(4)$ directamente!!! De cualquier manera, $(1)$ no se utiliza, aunque para ser justos, Euler, al menos, da (§195) una alternativa a prueba de $(5)$ que procede de $s$ esencialmente como $(1)$ para $t$.
Así que ¿dónde se puede encontrar?
Es en Lacroix (1797, págs. 113-114) y su progenie. Todavía me cuesta creer que tomó más de 100 años para $(1)$ a convertirse en el estándar de prueba de ahí mi pregunta.
