Esta respuesta es en respuesta a la frase final, "yo estaría muy agradecido a cualquiera que iba a escribir una nueva respuesta con un par de líneas de explicación en cuanto a lo que Sierpinski está haciendo". De hecho, es fácil construir el poder de las series convergentes en el círculo de convergencia, pero son sin límites. Por ejemplo,
$$
f(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^5(1+in^{-3}-z)}
$$
define una función cuyo poder de expansión de la serie tiene radio de convergencia 1 y converge en todas partes en el círculo unidad, pero es ilimitado en un barrio de la 1.
Un método de construcción de tales funciones es como una infinita suma
$$
f(z)=\sum_{n=1}^\infty f_n(z).
$$
Aquí, $f_n(z)$ son elegidos para tener un poder de expansión de la serie convergente en todas partes en la bola unidad cerrada. Deje $f^{(r)}_n(z)$ denotar la suma de los primeros $r$ el poder de términos de expansión de la serie de $f_n$. Tenemos que organizar lo que $f^{(r)}(z)\equiv\sum_nf_n^{(r)}(z)$ converge en la bola unidad cerrada, y que $f(z)=\lim_{r\to\infty}f^{(r)}(z)$ mantiene. Es decir, tenemos que ser capaces de conmutar el límite de $r\to\infty$ con la suma de más de $n$. Una condición suficiente para ser capaz de hacer esto es que el $\sum_n\sup_r\lvert f^{(r)}_n(z)\rvert < \infty$, para todos los $\lvert z\rvert\le1$. Que esto nos permite conmutar la suma con el límite es sólo un caso especial de la convergencia dominada.
A continuación, para asegurar que $f(z)$ es ilimitado en la unidad de la bola, queremos elegir $f_n$ tal de que no existe $q_n$ en la bola unidad cerrada con $f_n(q_n)$ grandes, y para que no se cancelan a cabo en la suma, por lo que el $f(q_n)$ es grande y diverge como $n\to\infty$.
Por ejemplo, elegir positivos reales $\delta_n,\epsilon_n$ tiende a cero, y el establecimiento $a_n=1+i\epsilon_n$, y
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f_n(z)=\frac{\delta_n}{a_n-z}=\sum_{m=0}^\infty \delta_na_n^{m-1}z^m.
$$
Estos son todos bien definida como la potencia de la serie con radio de convergencia mayor que 1. Además, las sumas parciales son
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f^{(r)}_n(z)=\delta_n\frac{1-(z/a_n)^r}{a_n-z},
$$
que están delimitadas por $2\delta_n/\lvert a_n-z\rvert$. Como $a_n\to1$, este está delimitado por un múltiplo de $\delta_n$ para cada uno de ellos fijo $z\not=1$, por lo que la convergencia dominada se satisface la condición al $\sum_n\delta_n$ es finito. Por otro lado, si $z=1$,, a continuación,$\lvert a_n-z\rvert=\epsilon_n$, por lo que la convergencia dominada se satisface la condición en todas partes siempre $\sum_n\delta_n/\epsilon_n$ es finito.
Siguiente, $f_n(z)$ alcanza su mayor valor en la unidad de la bola de a $q_n=a_n/\lvert a_n\rvert$, y su parte real no está dada por
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\Re f_n(q_n)=\frac{\delta_n}{\sqrt{1+\epsilon_n^2}(\sqrt{1+\epsilon_n^2}-1)}\ge\frac{2\delta_n}{\epsilon_n^2\sqrt{1+\epsilon_n^2}}.
$$
Como $f_m(z)$ tiene parte real positiva para todos los $m$, esta obligado también se aplica a las $f(q_n)$, y tenemos que $f$ es ilimitado siempre que $\delta_n/\epsilon_n^2\to\infty$. Estas condiciones son satisfechas mediante la toma de $\epsilon_n=n^{-3}$ e $\delta_n=n^{-5}$.
Alternativamente, para un ejemplo más cercano a Sierpinski es, considerar la elección de una secuencia $a_n\to1$ sobre el círculo unidad y positivos reales $K_n$, y el conjunto de
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f_n(z)=K_n2^{-n}\sum_{k=0}^{2^n-1}a_n^{2^n-1-k}z^k=2^{-n}K_n\frac{a_n^{2^n} z^{2^n}}{a_n-z}.
$$
Las sumas parciales de la energía de expansión de la serie de $f_n(z)$ están delimitadas por $2^{1-n}K_n/\lvert a_n-z\rvert$, por lo que la convergencia dominada se satisface la condición de $z\not=1$ mientras $\sum_n2^{1-n}K_n$ es finito. Sierpinski elige $a_n=(n^2-1+2ni)/(n^2+1)$, de modo que $a_n-1$ va a cero en la tasa de $1/n$. El dominado condición de convergencia es, por tanto, satisfecho siempre que $\sum_n2^{-n}K_nn$ es finito.
Ahora, $f_n(z)$ es maximizada en $z=a_n$ donde $\lvert f_n(a_n)\rvert=K_n$. Así,
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\lvert f(a_n)\rvert\ge K_n-\sum_{m\no=n}\frac{2^{1-m}K_m}{\lvert a_m-a_n\rvert}.
$$
Como $a_m-a_n$ está acotado abajo por un múltiplo de $1/m^2$, la suma de la derecha es limitada siempre que $\sum_m2^{-m}K_mm^2$ es finito, y $f(a_n)$ es ilimitado si también tomamos $K_n$ va al infinito. Sierpinski tarda $K_n=n^2$ aquí. Finalmente, en Sierpinski ejemplo, él multiplica $f_n$ por $z^{2^n}$. Esto no cambia nada, excepto para separar la no-cero términos de potencia de la serie de $f_n(z)$, por lo que el poder de la serie de $f(z)$ puede ser escrito fácilmente término por término.
