1 Fácil
La proposición Deje $f:X\to Y$ ser un mapa continuo de espacios topológicos, $\mathscr F$ una gavilla de abelian grupos en $X$ tal que $R^jf_*\mathscr F=0$ para $j>0$. A continuación, para todos los $i\geq 0$ existe un isomorfismo natural
$$
H^i(Y, f_*\mathscr F)\simeq H^i(X,\mathscr F)
$$
Prueba
Aplicar la composición de la regla para la derivada de functors de $G=\Gamma(Y, \_ )$ e $F=f_*({\_})$. Por definición, $G\circ F = \Gamma(X, \_ )$. Entonces
$$
R\Gamma(Y, f_*\mathscr F) \simeq R\Gamma(Y, Rf_*\mathscr F) \simeq R\Gamma (X, \mathscr F).
$$
Tomando cohomology muestra el resultado. $\square$
(edición a favor de anon, ver los comentarios de abajo)
Este es generalmente presentada como un ejemplo de cómo utilizar la Leray espectral de la secuencia. Haciendo de esa manera no es mucho más difícil que el anterior, pero tal vez un poco menos "automático".
Además, esta prueba demuestra más: No sólo la cohomologies de estas poleas son isomorfos, pero vienen del mismo complejo! Eso es mucho más fuerte declaración. Es fácil dar ejemplos de cuando el cohomologies de dos complejos son isomorfos, pero los complejos no son. Supongo que se podría argumentar que la palabra "natural" en la declaración significa exactamente esto, pero entonces yo diría que demostrar la connaturalidad con el Leray espectral de la secuencia es ciertamente posible, pero definitivamente necesita más atención.
Este último punto es realmente importante con respecto a la derivada de la categoría de lengua. Usted obtener un mayor nivel de concepto. El hecho de que usted puede trabajar con el complejo, cuya cohomologies dar el derivado de functors de su original functor es muy muy útil.
2 Menos Fácil
En caso de que no fueron convencidos por el ejemplo de arriba, aquí es uno que se debe hacer el truco:
Un caso especial de Grothendieck dualidad dice que si $f:X\to Y$ es un buen morfismos entre no demasiado horrible esquemas, digamos finitos tipo sobre un campo $k$ (no me dejes de intentar hacer una declaración precisa, esto es, de los Residuos y la Dualidad que usted ha mencionado) y $\mathscr F$ es coherente gavilla en $X$, luego
$$
Rf_*R\mathscr Hom_X(\mathscr F, \omega_X^{\bullet})\simeq R\mathscr Hom_Y(Rf_*\mathscr F, \omega_Y^{\bullet}).
$$
Aquí $\omega_{Z}^{\bullet}=\varepsilon^!k$ es "la" dualizing complejo donde $\varepsilon: Z\to \mathrm{Spec}\ k$ es el mapa de la estructura de $Z$.
Ahora trata de imaginar cómo se podría afirmar este uso del espectro de las secuencias. Ambos lados, corresponden en realidad a espectrales de las secuencias, por lo que la instrucción sería algo así como "hay un natural de mapa entre este esta espectral de secuencias, de tal manera que convergen a la misma cosa".
Yo diría que ya la declaración de este teorema sería agotador en el lenguaje de la espectral de las secuencias, pero el uso sería puro dolor.
3 Aún Menos Fácil
Aquí es una aplicación de Grothendieck la dualidad donde uno puede ver cómo los derivados de la categoría formalismo hace la vida más fácil y argumentos que parecía complicado se reducen a una sola camisa.
Teorema (un.k.una. Kempf del Criterio)
Deje $Y$ ser normal variedad de más de $\mathbb C$ con una resolución de singularidades $f:X\to Y$. A continuación, $Y$ ha racional singularidades (es decir, $R^if_*\mathscr O_X=0$ para $i>0$) si y sólo si
- $Y$ es Cohen-Macaulay
- $f_*\omega_X\simeq \omega_Y$
La prueba Deje $n=\dim Y=\dim X$ y supongamos $Y$ ha racional singularidades. Entonces
$$
\omega_Y^{\bullet}\simeq R\mathscr Hom_Y(\mathscr O_Y, \omega_Y^{\bullet})\simeq
R\mathscr Hom_Y(Rf_*\mathscr O_X, \omega_Y^{\bullet})\simeq
Rf_*R\mathscr Hom_X(\mathscr O_X, \omega_X^{\bullet})\simeq Rf_*\omega_X[n]\simeq f_*\omega_X[n].
$$
(El isomorphisms seguir por parte de los supuestos, Grothendieck la dualidad, y la última es la Grauert-Riemenschneider de fuga teorema).
Esto implica que $\omega_Y=h^{-n}(\omega_Y^{\bullet})\simeq f_*\omega_X$, que es la segunda condición para probar y también que $h^i(\omega_Y^{\bullet})=0$ para $i\neq -n$ que es equivalente a $Y$ es Cohen-Macaulay.
La otra dirección es en esencia, de la misma manera. $\square$
Ahora trate de hacer esto con espectral de las secuencias.
Para responder a su segunda pregunta, creo que tienes razón. Con el fin de obtener el espectro de secuencias usted no necesita ir a través de la derivada de la categoría de formalismo. Sin embargo, si usted va a "recuperar" el espectro de la secuencia, entonces usted empezar con la derivada de la categoría de formalismo. En otras palabras, si usted nunca ha oído hablar de categorías derivadas, por qué (o quizás lo que es más importante cómo) para que quieres recuperar algo de un derivado de la declaración de categoría? (Puesto que la palabra escrita carece de entonación, permítanme añadir que no estoy tratando de ser polémica, pero creo que esta pregunta es de alguna manera fuera del objetivo.)
