Intento generar muchos ejemplos en mi investigación para tener una mejor idea de lo que estoy haciendo. A veces, genero una trama, o una figura, que realmente me sorprende, y hace que mi investigación dé un giro inesperado, o me permita tener un momento de iluminación.
Por ejemplo, se revela una simetría oculta o se hace evidente una conexión con otro campo.
Pregunta: Pon un ejemplo de una imagen de tu investigación, una descripción de cómo se generó y qué información aportó.
Me interesa especialmente saber qué técnicas utiliza la gente para hacer imágenes, esto es algo que encuentro un poco escaso en la mayoría de los artículos de investigación. De las respuestas a esta pregunta; espero aprender algunos trucos/transformaciones "estándar" que uno puede hacer en los datos, para revelar la estructura oculta.
Como ejemplo, hace un par de años estudié la asintótica de los valores propios (generalizados) de las matrices de Toeplitz no cuadradas. Las dos imágenes siguientes revelaron una conexión oculta con los polinomios ortogonales en varias variables, y una conexión con los polinomios de Schur y la teoría de la representación. Sin estas pistas, no tengo ni idea de lo que habría pasado. Explicación: La imagen deltoide es un subespacio bidimensional de $\mathbb{C}^2$ donde aparecieron ciertos valores propios generalizados para una matriz de Toeplitz simple, pero grande, por lo que se trata esencialmente de soluciones a un sistema altamente degenerado de ecuaciones polinómicas. Utilizando un determinado mapa, estas raíces podían elevarse a la región hexagonal, revelando un patrón muy estructurado. Esto permitió comprender cómo es la densidad límite de las raíces. Se trata esencialmente de raíces de un análogo 2d de los polinomios de Chebyshev, pero yo no lo sabía en ese momento. El subespacio en $\mathbb{C}^2$ donde vive el deltoide es bastante especial, y no pudimos explicar esto. Un artículo posterior de otro autor respondió a esta pregunta, lo que condujo a un análogo de ser hermitiano para las matrices de Toeplitz rectangulares.
Tal vez no tenga una sola imagen; entonces puede querer ilustrar una transformación que pruebe con los datos que genere. Por ejemplo, cada polinomio define una coamoeba, al mapear las raíces $z_i$ a $\arg z_i$ . Esta transformación a veces revela una estructura interesante, y lo hizo parcialmente en el ejemplo anterior.
Si no generas imágenes en tu investigación, aún puedes participar en la discusión, enviando una imagen (histórica) que creas que tuvo un impacto similar (con motivación). Los ejemplos que creo que pueden aparecer aquí podrían ser la primera imagen del conjunto de Mandelbrot , el primer diagrama de bifurcación o tal vez raíces de polinomios con coeficientes enteros .
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Esto tal vez debería ser la wiki de la comunidad...
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La aparición del empaquetamiento de círculos apolíneos en cuestiones relacionadas con el límite de escalamiento del modelo abeliano de arenas y las funciones superarmónicas enteras fue bastante inesperada. Véanse los artículos arxiv.org/abs/1208.4839 y arxiv.org/abs/1309.3267 . Según tengo entendido, esta observación se hizo calculando algunos ejemplos explícitos y notando el patrón fractal.
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@SamHopkins: ¡Esto debería ser una respuesta! ¡He visto modelos de pilas de arena, y juntas apolíneas, pero nunca esperé una conexión!
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También hay bastantes ejemplos "famosos", como la espiral del ulam
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¿Serían las etiquetas <experimental-matemática> o <visualización> relevantes para esta pregunta?
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@JW ¡Sugerencias perfectas! Las he añadido ahora.
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Ver también, por ejemplo Diagramas de fase de funciones complejas: un viaje a la ilustración / Wegert, utilizado para visualizar la fn zeta de Riemann y afines
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Lamentablemente, no tengo suficiente reputación, pero aquí hay una cosa que en mi opinión es realmente fascinante: cómo aparecen las curvas de dragón cuando se trazan las raíces de ciertos polinomios .