Dejemos que $j: \mathbf{C} - \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{C}$ denotan el clásico $j$ -de la teoría de las funciones elípticas. Es decir, $j(\tau)$ es el $j$ -de la curva elíptica $\mathbf{C}/(\mathbf{Z} + \mathbf{Z}\tau)$ , por lo que tiene la conocida expansión $1/q_{\tau} + 744 + \cdots$ donde $q_{\tau} = \exp(2\pi i_{\tau} \cdot \tau)$ con $i_{\tau}$ que denota la raíz cuadrada de $-1$ que se encuentran en la misma componente conexa de $\mathbf{C} - \mathbf{R}$ como $\tau$ lo hace. (En particular, $\overline{j(\tau)} = j(\overline{\tau})$ y $j(-\tau) = j(\tau)$ .)
Dejemos que $\zeta$ denotan una raíz cúbica primitiva de la unidad en $\mathbf{C}$ y que $n \ge 1$ sea un número entero. El valor $j(n \zeta)$ es un número entero algebraico (que se encuentra en el campo de la clase de anillos del conductor $n$ en $\mathbf{Q}(\zeta)$ por la teoría CM). En términos más conceptuales, se trata de la $j$ -de la curva elíptica $\mathbf{C}/\mathcal{O}_n$ donde $\mathcal{O}_n$ es el único orden del conductor $n$ en el subcampo de $\mathbf{C}$ generado por las raíces cúbicas de la unidad.
Recientemente alguien me preguntó (basándose en pruebas numéricas para $n$ hasta 20 más o menos) para demostrar que $j(n \zeta) \equiv 0 \bmod 81$ para $n \equiv 1 \bmod 3$ y $j(n \zeta) \equiv -27 \bmod 81$ para $n \equiv -1 \bmod 3$ (congruencia módulo 81 en el anillo de enteros algebraicos en $\mathbf{C}$ ); tenga en cuenta que esto es sensible al hecho de que $n > 0$ pero es independiente de la elección de $\zeta$ en $\mathbf{C}$ (contemplar el comportamiento de $j$ con la negación, como se ha señalado anteriormente). Para $n = 1, 2$ estas congruencias son fácilmente verificables a mano. Al final se me ocurrió una prueba afirmativa en general utilizando la teoría cristalina de Grothendieck-Messing de Dieudonné para $3$ -grupos divisibles y algunos cálculos concretos.
Esto nos lleva a la siguiente pregunta. Es natural utilizar la teoría de la deformación (de la que forma parte la teoría de Grothendieck-Messing) para demostrar propiedades congruentes de $j$ -pero sacar una maquinaria teórica tan poderosa para demostrar algo tan sencillo como una congruencia mod 81 en $j(n \zeta)$ para $n > 0$ (no divisible por 3) puede parecer como matar una mosca con un mazo. Así que... ¿alguien ve una forma de determinar $j(n \zeta) \bmod 81$ (para todos los enteros $n > 0$ no divisible por 3) utilizando la tecnología anterior a Grothendieck?
[Nótese que es equivalente demostrar que para $n > 0$ no divisible por 3, $j(n \zeta) \bmod 81$ sólo depende de $n \bmod 3$ ya que entonces podemos calcular para $n = 1, 2$ para concluir. Pero de entrada no parece evidente que esta clase de congruencia en el anillo de enteros algebraicos en $\mathbf{C}$ está representado por un entero racional, y menos aún uno que sólo depende de $n \bmod 3$ . También es relativamente fácil demostrar que $j(n\zeta) \equiv 0 \bmod 27$ por lo que la la verdadera dificultad estriba en mejorar las cosas para que funcionen con el módulo 81].
