Como ocurre con muchas afirmaciones que implican cuantificadores anidados, puede ser útil pensar en esto en términos de juego. Supongamos que usted está tratando de demostrar que un cierto espacio $G$ es compacto. $G$ es compacta si, para cada cobertura abierta $C$ de $G$ existe un subcubrimiento finito. Así que el juego es el siguiente:
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Usted dice " $G$ es compacto".
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Tu adversario dice "No lo es. Aquí hay una cubierta abierta $C$ ." (El adversario le da una familia de conjuntos abiertos cuya unión contiene a $G$ .)
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Usted responde "He aquí una subcubierta finita de $C$ ." (Usted responde con un subconjunto finito de $C$ cuya unión aún contiene $G$ .)
Si tienes éxito en el paso 3, ganas. Si fracasas, pierdes. (Si intenta demostrar que $G$ es no compacto, tú y el adversario intercambiáis los papeles).
Si el adversario presenta una cobertura abierta finita $C$ en el paso 2, tienes un fácil contra-movimiento en el paso 3: simplemente devuelve $C$ y usted gana.
Pero para demostrar que $G$ es compacto usted también tiene que ser capaz de encontrar un contramovimiento para cualquier cobertura infinita $C$ que te da el adversario.
¿Su subcubierta finita debe ser correcto subconjunto de $C$ ? No. Si esto fuera necesario, el adversario siempre podría ganar en el paso 2 entregándote una cobertura $C$ con un solo elemento, $C=\{ G \}$ . Entonces el único subconjunto adecuado que podrías devolver sería $\lbrace\mathstrut\rbrace$ que no es una cobertura de $G$ y, por tanto, no habría conjuntos compactos no vacíos. Eso sería una tontería, por lo que se debe permitir devolver $C$ sin cambios en el paso 3.
