Cuándo dejar de usar la regla de L'Hôpital

Question

No entiendo algo sobre la regla de L'Hôpital. En este caso:

$$ \begin{align} & {{}\phantom{=}}\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x^2}{x^4+x^3+x^2} \\[8pt] & =\lim_{x\to0}\frac{(e^x-1-x^2)'}{(x^4+x^3+x^2)'} \\[8pt] & =\lim_{x\to0}\frac{(e^x-2x)'}{(4x^3+3x^2+2x)'} \\[8pt] & =\lim_{x\to0}\frac{(e^x-2)'}{(12x^2+6x+2)'} \\[8pt] & = \lim_{x\to0}\frac{(e^x)'}{(24x+6)'} \\[8pt] & = \lim_{x\to0}\frac{e^x}{24} \\[8pt] & = \frac{e^0}{24} \\[8pt] & = \frac{1}{24} \end{align} $$

¿Por qué tenemos que seguir resolviendo después de este paso?:

$$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(e^x-2)'}{(12x^2+6x+2)'}$$

¿No puedo simplemente sustituir $x=0$ y calcular el límite en este paso, dándome:

$$\dfrac{1-2}{0+0+2}=-\dfrac{1}{2}$$

Estoy muy confundido, porque obtengo respuestas probables diferentes para el límite, dependiendo de cuándo dejo de diferenciar, ya que claramente $-\frac1{2}\neq \frac 1{24}$.

Answer 1

Una vez que tu respuesta ya no esté en la forma 0/0 o $\frac{\infty}{\infty}$ debes dejar de aplicar la regla. Solo aplicas la regla para intentar deshacerte de las formas indeterminadas. Si aplicas la regla de L'Hopital cuando no es aplicable (es decir, cuando tu función ya no da un valor indeterminado de 0/0 o $\frac{\infty}{\infty}$) es probable que obtengas una respuesta incorrecta.

Deberías haber dejado de diferenciar arriba y abajo una vez que llegaste a esto:

$\dfrac{e^x-2x}{4x^2+3x^2+2x}$. Tomando el límite en eso te da $1/0$. El límite no existe.

Además, no te dejes tentar a decir "infinito" cuando ves un 0 en el denominador y un número distinto de cero en el numerador. Puede que no sea el caso. Por ejemplo, la función $\frac{1}{x}$ se acerca a infinito y menos infinito desde ambos lados del límite cuando x se acerca a 0. No necesariamente es infinito; lo mejor es dejarlo como "no existente".

Answer 2

Después de diferenciar solo una vez, obtienes $$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-2x}{4x^3+3x^2+2x}$$ que "evalúa" a $\dfrac 10$, es decir, el numerador tiende a $1$ y el denominador tiende a $0$. Por lo tanto, L'Hopital ya no se aplica y tenemos que $$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-2x}{4x^3+3x^2+2x}\quad\text{no existe}$$.

La regla de L'Hopital se aplica solo y exclusivamente cuando un límite evalúa a una forma "indeterminada": por ejemplo, $\dfrac 00, \;\text{o}\;\dfrac {\pm\infty}{\pm\infty}$.

Answer 3

Una rápida adición a la excelente respuesta de Ra1nMaster: solo puedes aplicar la regla de L'Hopital si tienes una forma indeterminada y si el límite, después de aplicar la regla de L'Hopital, existe.

Esta segunda condición es igualmente importante; por ejemplo, un clásico desafío es $$\lim_{x\to\infty} \frac{x}{x+\sin x}.$$ Dado que este límite tiene la forma $\frac{\infty}{\infty}$, uno podría aplicar ingenuamente la regla de L'Hopital, obteniendo $$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{1+\cos x}$$ y concluyendo que el límite original no existe. Esto es incorrecto; $$\lim_{x\to\infty} \frac{x}{x+\sin x} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{1+\frac{\sin x}{x}}=1.$$

Answer 4

Uno debe ser muy cuidadoso al usar la regla de L'Hôpital. Se aplica solo cuando el numerador y el denominador tienden ambos a $0$ o $\infty$ y el denominador nunca es $0$ en un entorno eliminado del punto. Un denominador de la forma $x\sin \frac1x$ no es elegible para la regla.

Pero, los estudiantes deben intentar evitar la regla de todas formas. Aquí hay una parábola. A un estudiante se le asigna la tarea de encontrar

$$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin^6 x}{x^6}. $$

Un mal estudiante cancela el $6$ y el $x$ dando $\sin$.

Un estudiante ingenuo aplica la regla de L'Hôpital 6 veces y eventualmente obtiene $\frac{720}{720} = 1$.

Un estudiante mediocre aplica la regla una vez, y obtiene

$$ \lim_{x\to 0} \frac{6\sin^5 x \cos x}{6x^5}. $$

Cancela el $6$, y quita el término $\cos x$ ya que tiende a $1$. Repite el proceso 5 veces más.

Un buen estudiante escribe la expresión como:

$$ \lim_{x\to 0} \left[\frac{\sin x}{x}\right]^6. $$

Usa la continuidad de $t^6$ para mover el límite dentro de los corchetes y obtiene $1^6 = 1$.

Un ingeniero dice "$\sin x = x$, así que la expresión es $1$." ¡Y tendría razón!

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Usar la regla de L'Hôpital también puede interferir en la comprensión de un problema por parte de los estudiantes. Aquí hay un ejemplo clásico.

La media de potencia $p$ de dos números positivos, $x$ e $y$ está definida como:

$$ M_p(x,y) = \left[\frac{x^p + y^p}{p}\right]^{\frac1p}. $$

¿Se puede proporcionar evidencia sugestiva sin usar la regla de L'Hôpital de que

$$ \lim_{p\to0^{+}} M_p(x,y) = \sqrt{xy}? $$

Una forma de hacer esto es usar la aproximación $x^p \approx 1 + p \log x$ para $p$ pequeño, tomado de la expansión de Taylor de $x^p$ en $p=0$. Sustituyendo en la fórmula de la media de potencia, se obtiene:

$$ \left[1 + \frac p2 (\log x + \log y)\right]^{\frac1p} = \left[1 + p \log \sqrt{xy}\right]^{\frac1p}. $$

Sea $s = \frac1p$, y esto es

$$ \left[1 + \frac{\log \sqrt{xy}}{s}\right]^s $$

El límite de eso cuando $s\to{+\infty}$ es

$$ e^{\log\sqrt{xy}} = \sqrt{xy}. $$

Hacer esto riguroso no es trivial.

Answer 5

No se puede utilizar L'hopital en el tercer signo de igualdad porque no tienes una expresión $"0/0"$.

Obtienes $$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x - 2x}{4x^3 + 3x^2 + 2x}. $$ Aquí el numerador tiende a $1$ y el denominador tiende a $0$, por lo tanto en definitiva el límite no existe.

También hay que tener en cuenta que $$ 4x^3 + 3x^2 + 2x $$ es negativo cuando $x <0$ y es positivo cuando $x>0$. Por lo tanto no se puede afirmar que el límite es $\infty$ o $-\infty$. El límite simplemente no existe.