Usted puede calcular el entero (co)homología de grupos de un compacto de colector a partir de una función de Morse $f$ junto con un genérico métrica de Riemann $g$; la métrica entra a través de la (hacia abajo) gradiente de la ecuación de flujo de
$$ \frac{d}{dt}x(t)+ \mathrm{grad}_g(f) (x(t)) = 0 $$
para los trazados $x(t)$ en el colector.
Después de elegir el más funciones de Morse y de la métrica, de una manera genérica, se puede recuperar la estructura de anillo, Massey productos, cohomology de operaciones, Reidemeister de torsión, functoriality.
La mejor forma conocida para calcular la cohomology de una Morse función es formar el Morse cochain complejo, generado por los puntos críticos (ver, por ejemplo, Hutchings de notas de la Conferencia en Morse de homología). La dualidad de Poincaré es manifiesto.
De otra manera, debido a Harvey y Lawson, es observar que el complejo de de Rham $\Omega^{\ast}(M)$ se encuentra dentro del complejo de las corrientes $D^\ast(M)$, es decir, la distribución de valores de las formas. El cierre de la $\bar{S}_c$ de la estable colector $S_c$ de un punto crítico de la $c$ de % de $f$ define un Dirac-delta actual $[\bar{S}_c]$. Como $c$ varía, estos abarcan una $\mathbb{Z}$-subcomplejo $S_f^\ast$ de % de $D^*(M)$ cuyo cohomology es, naturalmente, el singular cohomology de $M$.
El segundo enfoque puede ser visto como un "teorema de de Rham sobre los enteros", porque a lo largo de los reales, las inclusiones de $S_f\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}$ e $\Omega^{\ast}_M$ a $D^\ast(M)$ son cuasi-isomorphisms, y el resultado de isomorfismo de $H^{\ast}_{dR}(M)$ con $H^\ast(S_f\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R})=H^\ast_{sing}(X;\mathbb{R})$ es el de Rham isomorfismo.
