¿Se puede usar el teorema del punto fijo de Lawvere para probar el teorema del punto fijo de Brouwer?

Question

El Lawvere punto fijo teorema afirma que si $X, Y$ son objetos en una categoría con finito de productos que la exponencial $Y^X$ existe, y si $f : X \to Y^X$ es una de morfismos que es surjective en puntos en el sentido de que la inducida por el mapa de $\text{Hom}(1, X) \to \text{Hom}(1, Y^X)$ es surjective, a continuación, $Y$ tiene el punto fijo de la propiedad: para cada morfismos $g : Y \to Y$ existe un punto de $y : 1 \to Y$ tal que $g \circ y = y$.

El punto fijo de Brouwer teorema afirma que la cierra $n$-discos, todos de los cuales voy a denotar por $D$ para facilitar la notación, tienen el punto fijo de la propiedad como objetos de $\text{Top}$.

Ver a estos dos teoremas juntos, es tentador tratar de probar que el último de la antigua por la búsqueda de un espacio topológico $X$ de manera tal que la exponencial $D^X$ existe, junto con un surjective mapa continuo $X \to D^X$. No hay en el hecho de existir una $X$?

Edición, 4/13/17: todavía estoy interesado en esta cuestión, por lo que son algunas personas asociadas con MIRI (al menos al $n = 1$); para algunos detalles acerca de por qué, ver aquí.

Answer 1

En mi experiencia, es que vale la pena considerar las variantes de Lawvere teorema de punto fijo. En el presente caso, me gustaría dividir las cosas de la siguiente manera, con el fin de evitar la no-naturaleza constructiva de Brouwer del teorema de punto fijo.

También, permítanme señalar que no debemos preocuparnos por las exponenciales demasiado, incluso aunque no existan en la categoría de espacios topológicos, a menos que el exponente es bastante bonito. Podemos mover a un cartesiano-cerrado subcategoría, tales como los dispositivos de forma compacta generado espacios, o a un cartesiana cerrada supcategory, tales como equilogical espacios.

Teorema: [Aproximada Lawvere] Supongamos $(B, d)$ es un espacio métrico y $e : A \to B^A$ es un mapa continuo, de tal manera que para cada mapa continuo $g : A \to B$ e $\epsilon > 0$ hay $a \in A$ tal que $d(e(a)(a), g(a)) < \epsilon$. A continuación, cada mapa continuo $f : B \to B$ ha aproximado puntos fijos: para cada $\epsilon > 0$ hay $b \in B$ tal que $d(b, f(b)) < \epsilon$.

Prueba. Dado cualquier $f$ e $\epsilon$ considera el mapa de $g(a) = f(e(a)(a))$. no es $a \in A$ tal que $d(e(a)(a), g(a)) < \epsilon$ y, a continuación, $b = e(a)(a)$es $\epsilon$aproximado de punto fijo de $f$. QED.

Una forma de utilizar el teorema es a través de la sup métrica (que permite a infinita distancia):

Corolario: Si $e : A \to B^A$ tiene una densa imagen en el sup métrica en $B^A$, entonces cada endomap en $B$ ha aproximado a puntos fijos.

Supongamos que podemos aplicar el teorema anterior a la cerrada de la bola de $D^n$. A continuación, nos gustaría saber (de manera constructiva!) que cada endomap en $D^n$ ha aproximado a puntos fijos. a continuación, sólo tenemos otro paso fácil, que contiene todos los clásicos de razonamiento necesarios:

Teorema: Supongamos $X$ es compacto y $f : X \to X$ tiene $\epsilon$aproximado de punto fijo para cada $\epsilon > 0$. A continuación, $f$ tiene un punto fijo.

Prueba. Contables elección, para cada $n$ hay $x_n \in X$ tal que $d(x_n, f(x_n)) < 1/n$. Debido a $X$ es compacto, $x_n$ tiene una larga convergentes para algunos $y \in X$. Ahora es fácil ver que $y$ es un punto fijo de $f$. QED.

Pero no veo cómo aplicar el aproximado de Lawvere a la cerrada de la pelota, si que es posible.

Answer 2

Esta no es una respuesta, pero intentaré explicar por qué creo que es poco probable que exista ese espacio$X$.

Si reemplazamos$D$ por, digamos, una esfera, entonces (usando el teorema del punto fijo de Lawvere y el hecho de que las esferas tienen mapas automáticos sin puntos fijos) ese espacio$X$ no existe para el esfera. Ahora, realmente no veo cómo posiblemente usar el hecho de que el disco es un disco para construir el espacio$X$. Por lo tanto, estoy tentado a creer que su$X$ no existe.

Answer 3

Edit: Se Sawin ha señalado algunas dificultades con esta respuesta. Voy a dejar esto por lo menos por un tiempo, en caso de que alguien tiene alguna idea acerca de la reparación de la misma. O tal vez esto podría ser un cuento con moraleja?

Mi respuesta es que no hay ningún espacio $X$ admitiendo una continua surjection $X \to D^X$.

Después de uno de Andrej sugerencias, vamos a ampliar el contexto de $\text{Top}$ a la quasitopos $\text{Choq}$ de Choquet (aka pseudotopological) espacios. Esta es una ubicación conveniente porque quasitoposes son cartesiana cerrada (por lo que nunca tiene que preguntarse acerca de la existencia de ciertos exponenciales, como lo hacemos para $\text{Top}$), además de que este no alterarán el problema de la OP debido a la inclusión total $i: \text{Top} \to \text{Choq}$ preserva los productos cartesianos y cualquier exponenciales que pasan a existir en $\text{Top}$. Para mayor comodidad se que $\text{Choq}$ es concreta y topológico (sobre $\text{Set}$), y podemos decir que un mapa de Choquet espacios es surjective si su función subyacente es, por lo que la inclusión $i$ también conserva surjective mapas. (Por lo concreto, cada surjective mapa es una epimorphism, y lo contrario es cierto en $\text{Choq}$.)

Supongamos que existe un espacio topológico $X$ tal que $D^X$ existe en $\text{Top}$ y hay un surjective mapa continuo $\phi: X \to D^X$. En $\text{Choq}$ obtenemos un inducida por el mapa de $D^\phi: D^{D^X} \to D^X$. La idea ahora es construir una retracción a$D^\phi$, lo que podría sugestivamente se denota $\text{Ran}_\phi: D^X \to D^{D^X}$ (piense en "derecho Kan de extensión"), aprovechando el hecho de que $D = [0, 1]^n$ es una interna sup-red en $\text{Choq}$. La concesión de esta posibilidad por el momento, y poner $Z = D^X$, ahora tenemos que $D^Z$ es un retractarse de $Z$ (para simplificar la notación, llame a la retracción $r: Z \to D^Z$, y la sección $s: D^Z \to Z$), lo que abre la puerta a que el argumento dado por Sam Eisenstat más en el hilo: hay un espacio topológico X homeomórficos en el espacio de las funciones continuas de X en [0, 1]?. En detalle, para las variables de $z$ tipo $Z$ e $g$ tipo $D^D$, introducir el punto fijo combinador $Y: D^D \to D$ (que va a vivir por el camino de $\text{Top}$, ya que el $D$ es un exponentiable espacio) por las fórmulas

$$H := \lambda g. s(\lambda z. g(r(z)(z)))$$

$$Y := \lambda g. (r(H(g)))(H(g))$$

y comprobar en la forma habitual que $Y(g)$ tipo $D$ es un punto fijo de $g$. A continuación, invocar Sam el argumento de que tales continua de punto fijo de combinadores $Y$ no puede existir. (Técnicamente, indicó que la razón para el caso especial $D = I = [0, 1]$, pero el problema general de la $D$ puede ser reducido para el caso especial de la siguiente manera. Suponiendo un punto fijo combinador $Y: D^D \to D$ existe, elegir un par $\rho: D \to I, \sigma: I \to D$ que exhibe $I$ como se retracte de $D$, y verificar que la composición

$$I^I \stackrel{\sigma^\rho}{\to} D^D \stackrel{Y}{\to} D \stackrel{\rho}{\to} I$$

es un punto fijo combinator, lo cual es imposible por Sam del argumento.) Contradicción.

La tarea ahora es construir la retracción $\text{Ran}_\phi: D^X \to D^{D^X}$. Como se indicó antes, el fondo de esta construcción es una teoría de la sup-celosías en quasitoposes, para los que no conocen la literatura de referencia, pero en algún momento me puede hacer algunas notas sobre esta disponible en mi nLab web. De hecho, había comenzado una bonita inmersión profunda dentro de esta teoría de aquí, pero afortunadamente encontró algunas simplificaciones que sortear un montón de esta teoría. Voy a ir a la simplificación de la prueba en la sección final, después de la introducción de algunas definiciones necesarias en la sección siguiente (para aquellos no muy categóricamente mente, la siguiente sección tiene la función de sustitución de nosotros la terrible agonía de la verificación de que ciertos "fácil de definir" funciones entre ciertos Choquet espacios realmente son continuos los mapas -- el resumen de cuenta de lo que viene a continuación, no todos los que trabajan para nosotros).

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Un quasitopos $Q$ tiene un regular subobjeto clasificador $\Omega$, que para $\text{Choq}$ está a sólo 2 puntos $\{f, t\}$ equipada con el codiscrete (indiscreta) topología. (Si $X$ es un Choquet espacio, entonces los puntos de $P X = \Omega^X$ son dados por los subespacios de $X$, es decir, subconjuntos de $X$ con el subespacio pseudotopology, o simplemente la topología de subespacio si $X$ es un espacio topológico.) A continuación, cada mapa en $Q$ tiene un (único) epi-regular(mono) de la factorización, debido a la muy útil el hecho de que un quasitopos no es sólo regular, pero coregular ($Q^{op}$ es regular); ver Johnstone del Elefante, Corolario A. 2.6.3. El mono parte se llama la imagen regular de $f$. Esto nos permite definir, para un mapa de $f: X \to Y$, la imagen directa de asignación de $\exists_f: \Omega^X \to \Omega^Y$ que, en el caso de $Q = \text{Choq}$ es un subespacio $U$ de % de $X$ a el subespacio $f(U)$ de % de$Y$. Formalmente, $\exists_f$ se define a partir de la canónica regular subobjeto $\in_X \hookrightarrow X \times \Omega^X$, que está clasificada por la evaluación de la asignación de $X \times \Omega^X \to \Omega$, luego de tomar la imagen regular de los compuestos

$$\in_X \hookrightarrow X \times \Omega^X \stackrel{f \times 1}{\to} Y \times \Omega^X,$$

luego de formar el mapa de clasificación de $Y \times \Omega^X \to \Omega$ de los regulares de la imagen y, a continuación, alarmada que para obtener $\exists_f: \Omega^X \to \Omega^Y$.

A continuación, vamos a definir un poset en $Q$ a ser un objeto de $X$ junto con regularidad un subobjeto $i: X_1 \hookrightarrow X \times X$ satisfactorio estándar de axiomas. Si $X, Y$ son dos posets, podemos definir su interior hom $[X, Y]$ como la retirada de una evidente diagrama

$$\begin{array}{ccccc} & & & & Y_1^{X_1} \\ & & & & \downarrow j^{X_1} \\ Y^X & \stackrel{sq}{\to} & (Y \times Y)^{X \times X} & \stackrel{(Y \times Y)^i}{\to} & (Y \times Y)^{X_1} \end{array} $$

donde $sq(f) := f \times f$. El pullback de la regular mono $j^{X_1}$ a lo largo de la parte inferior compuesto es de nuevo un regular mono $[X, Y] \to Y^X$. De curso $\Omega$ tiene un nivel de pedidos $f \leq t$ y los puntos de $[X, \Omega]$ se dan por regular hacia arriba-cerrado subobjetos de $X$; para el quasitopos $\text{Choq}$ sólo voy a llamar de "conjuntos", y del mismo modo los puntos de $[X^{op}, \Omega]$ están "abajo-conjuntos".

Vamos que desee considerar la $[X^{op}, \Omega]$ gratis posetal cocompletion de $X$, así que vamos a decir algunas palabras sobre eso. El "Yoneda incrustar" $y_X: X \to [X^{op}, \Omega]$ se obtiene dejando $\chi_{X_1}: X \times X \to \Omega$ clasificar los regulares subobjeto $X_1 \hookrightarrow X \times X$, y, a continuación, debidamente alarmada a un mapa de $X \to \Omega^X$, y toma nota de estos factores a través de un mapa de $X \to [X^{op}, \Omega]$ por el poset axiomas. Formamos un cocompletion functor $\mathbf{P}$, lo que lleva a un poset $X$ a $[X^{op}, \Omega]$. Para un poset mapa de $f: X \to Y$, el mapa de $\mathbf{P}f: [X^{op}, \Omega] \to [Y^{op}, \Omega]$ es tomar un conjunto de $U$ de % de $X$ para el conjunto generado por la imagen directa $\exists_f(U)$ en $Y$. Formalmente: si el poset $Y$ es administrado por un lapso $Y \stackrel{\pi_1}{\leftarrow} Y_1 \stackrel{\pi_2}{\to} Y$, entonces el compuesto

$$\Omega^Y \stackrel{\pi_2^\ast}{\to} \Omega^{Y_1} \stackrel{\exists_{\pi_1}}{\to} \Omega^Y$$

tiene como imagen regular la inclusión $[Y^{op}, \Omega] \hookrightarrow \Omega^Y$ hemos construido anteriormente. Este mapa mapas regular subobjeto para el conjunto que genera. Denotando su epi-regular(mono) de la factorización como

$$\Omega^Y \stackrel{e}{\to} [Y^{op}, \Omega] \hookrightarrow \Omega^Y$$

ahora nos definen $\mathbf{P}f: \mathbf{P}X \to \mathbf{Y}$ a ser el compuesto

$$[X^{op}, \Omega] \hookrightarrow \Omega^X \stackrel{\exists_f}{\to} \Omega^Y \stackrel{e}{\to} [Y^{op}, \Omega].$$

El functor $\mathbf{P}$, con lo definido en la categoría de internos posets lleva una monada estructura cuya unidad es el Yoneda incrustación $y$ (es decir, la componente de a $X$ es el principal abajo-mapa del juego de $y_X: X \to [X^{op}, \Omega]$ hemos construido anteriormente), y la multiplicación resulta ser dada por

$$\text{mult}_X := [y_X^{op}, \Omega]: [[X^{op}, \Omega]^{op}, \Omega] \to [X^{op}, \Omega].$$

Oficialmente, una sup-red es una $\mathbf{P}$-álgebra. También puede ser descrito como un poset $X$ cuyo Yoneda incrustación $y_X: X \to \mathbf{P}X$ ha dejado adjoint (que luego será la estructura de álgebra $\mathbf{P}X \to X$: sólo puede haber uno, como $\mathbf{P}$ es una lax idempotente o KZ mónada).

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Lo que parece simplificar enormemente es introducir otro concepto que, estoy bastante de hecho, es equivalente al concepto de sup-red. (Ver el post Tiraje de Yoneda son los reflectores, es decir, a la izquierda adjoints? para algunos explicación del por qué.)

Definición: Un s-red es un poset $X$ cuyo Yoneda admite la incrustación de una retracción. Dejamos $\sup_X$ genéricamente denotar un elegido de retracción (aunque como me sugieren, creo que no puede haber más de uno!).

Aquí está la semilla de ejemplo. En $\text{Choq}$, el poset $I = [0, 1]$ es un s-red. El poset de conjuntos de $[I^{op}, \Omega]$ puede ser identificado con $I \times \{f \leq t\}$ bajo la orden lexicographic, topologized por la orden de la topología. (Uno debe comprobar que el compacto-abierta topología es, de hecho, este fin de topología.) El Yoneda la incrustación de toma $x \in I$ a $(x, t)$. La retracción es sólo la proyección de mapa de $I \times \{f, t\} \to I$.

Lema 1: Si $L$ es un s-red, entonces también lo es $L^X$ para cualquier objeto $X$.

Prueba: Respecto $X$ interno discretos poset (ambos mapas de la extensión se $1_X$). Hay una evidente identificación de $\mathbf{P}(L \times X) = (\mathbf{P}L)^X$. Ahora examine el diagrama

$$\begin{array}{cccccc} L^X & \stackrel{y^X}{\to} & \mathbf{P}(L \times X) & & & & \\ y \downarrow & & y \downarrow & \searrow^{id} & & & \\ \mathbf{P}(L^X) & \underset{\mathbf{P}(y^X)}{\to} & \mathbf{PP}(L \times X) & \underset{\text{mult}}{\to} & \mathbf{P}(L \times X) & \underset{\sup_L^X}{\to} & L^X \end{array}$$

(la plaza de los viajes por connaturalidad de $y$, y el triángulo desplazamientos por una unidad de la ecuación de la mónada $\mathbf{P}$), y utilice el hecho de $\sup_L^X \circ y_L^X = 1_{L^X}$. Por lo tanto la parte inferior compuesto se retrae $y_{L^X}$. $\Box$

Por ejemplo, $D = I^n$ es un s-celosía en $\text{Choq}$. De ello se desprende, además, que cualquier $D^X$ es un s-red.

Recordar que si $A, B$ son posets y $f: A \to B$ es un poset mapa, $f$ es una incrustación de si $a \leq a'$ en $A$ siempre $f(a) \leq f(a')$ en $B$. Es fácil ver que incrustaciones son monomorphisms.

Lema 2: Si $f: X \to Y$ es un surjection en $\text{Choq}$ e $D$ es un poset, a continuación, $D^f: D^Y \to D^X$ es una incrustación.

Esto es bastante obvio. $D^f(g) := g \circ f$, lo $D^f(g) \leq D^f(g')$ medio $g f \leq g' f$. Esto implica $g \leq g'$ por surjectivity de $f$.

Lema 3: Si $h: A \to B$ es un poset de incrustación en $\text{Choq}$,, a continuación, $[h^{op}, \Omega]$ retrae $\mathbf{P}h$.

Prueba: basta comprobar esto en el nivel de los conjuntos, por la concreción de $\text{Choq}$ sobre $\text{Set}$. Deje $U \in \mathbf{P}A$ un conjunto de $A$. A continuación,$\mathbf{P}h(U) = \{b \in B: \exists_{a \in A} a \in U \wedge b \leq h(a)\}$. La función de $[h^{op}, \Omega]$ envía este conjunto de a $\{a' \in A: \exists_{a \in A} a \in U \wedge h(a') \leq h(a)\}$. Desde $h$ es una incrustación, esto es igual a $\{a' \in A: \exists_{a \in A} a \in U \wedge a' \leq a\}$, pero esto es sólo $U$ desde $U$ es a la baja-cerrado. $\Box$

Nuestra tarea se ha completado con el siguiente resultado.

Teorema: Si $f: X \to Y$ es un continuo surjection en $\text{Choq}$ e $D$ es un s-enrejado, a continuación, $\text{Ran}_f := \sup_{D^Y} \circ [(D^f)^{op},\Omega] \circ y_{D^X}$ retrae $D^f$.

Prueba: Hemos

$$\begin{array}{ccc} 1_{D^Y} & = & \sup_{D^Y} \circ y_{D^Y} \\ & = & \sup_{D^Y} \circ [(D^f)^{op}, \Omega] \circ \mathbf{P}(D^f) \circ y_{D^Y} \\ & = & \sup_{D^Y} \circ [(D^f)^{op}, \Omega] \circ y_{D^X} \circ D^f \end{array}$$

donde la primera ecuación utiliza el Lema 1, el segundo utiliza los Lemas 2 y 3, y el tercero utiliza connaturalidad de $y$. $\Box$

Answer 4

Aquí es una especie de solución parcial. Dudo que va a ser muy útil, pero cualquier persona que quiera leer es libre de hacerlo.

Deje $I$ ser cualquier espacio con el punto fijo de la propiedad. Vamos a construir un espacio de $X$ y un mapa de la $X \to I^X$ tal que muchos interesantes mapas se encuentran en su imagen, incluyendo todos los mapas que se pueden definir en un idioma que consta de $e$, funciones continuas de finita de potencias de $I$ a sí mismo, y la constante de símbolos en $X$ (que es todo lo que es necesario para probar la Lawvere teorema de punto fijo).

Para lograr esto vamos a construir inductivamente para cada número natural $n$ espacio $X_n$, un mapa de $e_n: X_n \times X_n \to I$, y un mapa de la $i_n: X_n \to X_{n+1}$, de tal manera que $e_{n+1}(i_n(x_1),i_n(x_2))=e_n(x_1,x_2)$. También vamos a utilizar auxiliar espacios de $Y_n,Z_n$ a lo largo del camino.

Después de esto nos pusimos $X$ a ser el delantero límite de $X_n$ a lo largo de $i_n$ y deje $e: X\times X \to I$ ser el límite de la $e_n$.

La importancia de los espacios de $Y_n$ e $Z_n$ es que el $Z_n$ es el conjunto de continuo $I$valores de las funciones de $x \in X$ que solo depende de los $ e(x,x), e(x,t)$ para $t \in X_n$. $Y_n$ es el espacio de los posibles valores de los par $e(x,x), e(x,t)$, por lo que el $Z_n$ es el espacio de funciones en $Y_n$. A continuación, $X_{n+1}$ está construida de manera que los mapas surjectively a $Z_n$, de modo que todas las funciones de $Z_n$ provienen de elementos de $X_n$, y se asigna a $Y_n$, de modo que todas las funciones de $Z_n$ puede extenderse a funciones en $X_n$. Para la simplicidad y la canonicality, definimos $X_{n+1}$ a ser un subconjunto de $Y_n \times Z_n$, definido por la coherencia de las condiciones para asegurar la relación deseada entre las $Y_n$ e $e$. A continuación, libremente se puede agregar también las funciones de $e(t,x)$ para $t\in X_n$ a $Z_n$, ya que son funciones continuas de $e(x,x)$, $e(x,t)$ por la construcción de $X_n$.

Para empezar, vamos a $X_0$ ser el conjunto vacío.

Inductivo, supongamos que hemos definido $X_{n-1}, Y_{n-1},Z_{n-1}, X_n$.

Deje $Y_n$ ser $ I \times I^{X_n}$. Deje $Z_n= I^{Y_n}$.

Deje $X_{n+1} $ ser el subconjunto de $Y_n \times Z_n$ consta de tuplas $(b,c)\in Y_n, f\in Z_n$ la satisfacción de las siguientes dos coherencia condiciones:

• $b= f(b,c)$

• Para todos los $x$ en $X_n$, $c(x) = f( e_n(x,x), t \mapsto e_n(x,t))$

Deje $i_n: X_n \to X_{n+1}$ enviar $x= ((b',c'),f)$ a $(e_n(x,x), t \mapsto e_n(x,t) ) , (\beta,\gamma)\mapsto f'(\beta, \gamma \circ i_{n-1} )$.

Deje $e_{n+1}: X_{n+1} \times X_{n+1} \to I$ enviar $((b_1,c_1),f_1),((b_2,c_2),f_2)$ a $f_1(b_2,c_2)$.

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Primero vamos a comprobar que para $x$ en $X_n$ correspondiente a una tupla $(b,c),f$ en $Y_{n-1} \times Z_{n-1}$, $i_n(x)$ satisface la coherencia de las condiciones.

Para $x$ en $X_n$ que corresponde a una tupla $(b,c),f$, tenemos $e_n(x,x) = f( e_n(x,x), t \mapsto e_n(x, i_{n-1}(t))$, pero $e_n(x)=f(b,c)$, por lo que es suficiente para comprobar que el $b=e_n(x,x)$ e $c= t \mapsto e_n(x, i_{n-1}(t))$, los cuales son la coherencia de las condiciones de $X_n$.

Además tenemos la necesidad de $x'$ en $X_n$ correspondiente a una tupla $(b',c'),f)$, $e_n(x,x') = f( e_n(x',x'),t \mapsto e_n(x',i_{n-1}(t)))$, lo cual es cierto, ya que por definición de $e_n$, $e_n(x,x') = f(b',c')$ y $b' = f'(b',c') =e_n(x',x')$ mientras $c'(t) = f'( e_{n-1}(t,t), s \mapsto e_{n-1}(s,t)) = e_n(x', i_{n-1}(t))$, por definición, de $e_n$ e $i_{n-1}$.

Por lo tanto $i_n$ es en realidad un bien definido el mapa de $X_n$ a $X_{n+1}$.

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El hecho de que $e_{n+1}(i_n(x_1),i_n(x_2))=e_n(x_1,x_2)$ sigue dejen sin efecto las definiciones.

De hecho, vamos a $x_1 = ((b_1,c_1),f_1)$ y deje $f_2=((b_2,c_2),f_2))$ y, a continuación, $e_{n+1} (i_n ( x_1),i_n(x_2)) = f_1 ( e_n (x_2,x_2), t \mapsto e_n(x_2, i_{n-1}(t)) =f_1(b_2,c_2)= e_n(x_1,x_2)$ por la coherencia de las condiciones para $b_2,c_2$ y la definición de $e_n$, y, a continuación, la definición de $e_n$.

Ahora podemos definir la $X$ a ser el delantero límite de $X_n$ a lo largo de $I_n$ e $e$ a ser el delantero límite de los mapas de $e_n$, lo que hemos visto son compatibles. A continuación vamos a caracterizar la imagen del mapa de $X \to I^X$ dado por $x \mapsto (t \mapsto e(x,t))$. Vamos a ver que esta imagen puede verse como el avance límite de $Z_n$ a lo largo del sistema de mapas que podemos definir ahora.

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Considerar el mapa de $j_n: Y_{n+1} \to Y_{n}$ que envía a $(b,c)$ a $( b, c \circ i_n)$. Tenga en cuenta también el mapa de la $k_n: Z_{n} \to Z_{n+1}$ por exponentiating $j_n$.

Me dicen que si $i_{n} ((b,c),f)= ((b',c'),f')$ entonces $j_n(b',c') = (b,c)$ e $k_n(f)=f'$.

La primera instrucción es simplemente el hecho de que $ b=e_n(x,x), c(t)= t \mapsto e_n(x,i_{n-1}(t))$, que se derivan de la definición de $e_n$ y la coherencia de las condiciones para $b$ e $c$ respectivamente.

La segunda instrucción que sigue inmediatamente a partir de la construcción de la $i_n$, lo que obliga $f' ( \beta,\gamma) = f( \beta , \gamma \circ i_n) = \alpha(x)$ que es exactamente $f \circ k_n$.

Así hemos comprobado la reclamación.

Deje $Y$ ser la inversa límite de $Y_n$ a lo largo de $j_n$ y deje $Z$ ser la inversa límite de $Z_n$ a lo largo de $k_n$, por lo que no es natural mapa de $Y \times Z \to I$. Las compatibilidades de $i_n$ con $j_n$ e $k_n$ respectivamente implica que hay mapa $X \to Y$ e $X \to Z$, e $e: X \times X \to I$ es simplemente la composición de estos dos con el mapa de $Y \times Z \to I$.

Por lo tanto el mapa de $X \to I^X$ inducida por $e$ factores $X \to Z \to I^Y \to I^X$. Yo puedo demostrar que esta composición es surjective pero puedo demostrar que el primer mapa, $X \to Z$ es surjective.

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Para ello, es suficiente para demostrar que el mapa de proyección $X_n \to Z_n$ es surjective. En otras palabras, dado $f: Y_n \to I$, construcción $(b,c) \in Y_n$ la satisfacción de la coherencia de las condiciones. Claramente debemos tener $c(x) = f( e_n(x,x), t \mapsto e_n(x,t))$. Entonces podemos tomar $b$ a cualquier punto fijo de $f(b,c)$.

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Lo de los mapas podemos construir de esta manera? Tenemos todos los mapas se define por elementos de $Z_n$ para todos los $n$. Estos, a su vez, son todas continuas mapas que sólo dependen de los datos en $Y_n$. Por la coherencia de las condiciones y la definición de $e$, la proyección de $x \in X_n$ a $Y_n$ codificar $e(x,x),t\mapsto e(x,t)$ para $t$ en $X_{n-1}$. Utilizando la definición de $e$ y la compatibilidad de las $e$ con $i_{n-1}$, uno puede ver que también se codifica $t \mapsto e(t,x)$ para $t \in Y_{n-1}$. La compatibilidad de $i_n$ con $e$ e con $j_n$ asegurarse de que $Y_n$ continúa para codificar los datos para todos los $x$. Por lo tanto todas las funciones continuas que solo depende de los $t\mapsto e(t,x),e(x,x),t\mapsto e(x,t)$, lo que, a mi parecer, de todo el "obvio" que construimos, en la imagen del mapa construido $X \to I^X$.

El definability declaración de las anteriores se deduce del hecho de que cualquier conjunto finito de elementos de $X$, tales como la constante de los símbolos que aparecen en la fórmula, se debe a $X_n$ para algunos $n$. Cualquier función que sólo depende de $e$ evaluada con estos constantes de símbolos que luego mentir en $Z_n$.