Nima Arkani-Hamed tenido una serie de conversaciones en JHU aproximadamente hace 6 meses que asistí relacionados con este tema. Él discutió en Stony Brook, un poco más de una semana atrás (señalado por Emilio Pisanty en los comentarios de arriba en el que se utilizó el término "amplituhedron", pero mi entendimiento de este proviene principalmente de sus anteriores conversaciones.
Actualización: me las arreglé para seguir Nima de hoy en día y obtener de él, para explicar los detalles. Sorprendentemente casi todo estaba correcto, pero el bucle nivel de descripción tiene algunos cambios. También he hecho algunos cambios estéticos, intentando seguir la notación en Trnka las diapositivas tan estrechamente como sea posible, mientras que ser legible por los matemáticos. También tenga en cuenta que Nima afirmó que su papel en esto parecería "muy pronto".
Actualización 2: Su papel ha aparecido en el arXiv: http://arxiv.org/abs/1312.2007. A primera vista todo parece coherente con lo que he escrito a continuación. Creo que debe ser legible para los matemáticos simplemente mediante la omisión de los pocos tramos que requieren el conocimiento de la física. Encuentran algunos combinatoria resultados en los contenidos que puedan ser de interés, pero como la respuesta a esto es ya bastante grande, yo sólo voy a dirigir a los interesados el documento directamente.
Aquí todo es más de $\mathbb R$. Sabemos que el cociente de las subconjunto $\tilde{M}(k,n) \subset M(k,n)$ de las matrices con rango completo por la $GL(k)$ a la izquierda de la acción da la Grassmannian $G(k,n)$, en el que cada matriz se asigna a su fila de espacio. Definir $M_+ (k,n)$ a ser el subconjunto de $M(k,n)$ en el que todos los $k \times k$ menores de edad son positivos (ordenar las filas en el proceso). La imagen de $M_+(k,n)$ bajo este cociente es positivo Grassmannian $G_+(k,n)$.
Fijar una matriz de $Z \in M_+(k+m,n)$ como datos de entrada, que proviene de la física, pero realmente no afecta a la estructura combinatoria* en todos.
A continuación, hay un mapa de $Y_{n,k,m}: G_+(k,n) \rightarrow G(k,k+m)$ dado por $([C],Z) \mapsto [CZ^T]$, donde los corchetes denotan clases de equivalencia bajo el $GL(k)$ acción (el requisito de que $CZ^T$ tiene rango completo está satisfecho automáticamente si ambos están en sus respectivos positivo piezas). Su imagen $\mathcal P_{n,k,m}$ es llamado el árbol de nivel amplituhedron. La combinatoria de la estructura no depende de $n,k,$ e $m$. Este caso es que al parecer conocen bastante bien gracias a su trabajo con Alexander Postnikov (según Nima).
(Uno de los aspectos interesantes de este positivo-la verdadera historia es que mientras que el mapa de $Y_{n,k,m}$ es sólo racional mapa de variedades algebraicas, su base locus no se cruzan $G_+(k,n)$.)
*He visto que afirmaba que $Z$ puede ser llevado a vivir en $G_+(k+m,n)$. Debo admitir que esto no tiene sentido para mí, porque el mapa descrito anteriormente no es invariante bajo la acción correcta por $GL(k+m)$. Si me falta algo obvio que siéntase libre de corregirme. Al menos, estoy bastante seguro de que la descripción anterior funciona, pero podría ser un poco más redundante de lo necesario.
Como he mencionado más arriba, $\mathcal P_{n,k,m}$ no es toda la amplituhedron. Más bien, es sólo el árbol de caso a nivel. El pleno amplituhedron tiene otro número entero no negativo del parámetro $l$ que determina el lazo de la orden. Esto le da adicionales coordenadas de los puntos en el amplituhedron. La subregión de $M(k+2l, k+m)$ de interés, que el $C$ variar a través satisface un poco más estrictos en la positividad de las restricciones que las de la ordinaria positivo Grassmannian que hemos tenido anteriormente en el caso $l=0$. Voy a llamar esta $l$-positividad, aunque este es mi propia terminología. $C' = \left( \begin{matrix} C \\ C^{(1)} \\ \vdots \\ C^{(l)} \end{matrix} \right)$ con $C$ as $k \times n$ y cada una de las $C^{(i)}$ as $2 \times n$ es $l$-positivo iff para cualquier $I = \{i_1 , \ldots, i_r\} \subseteq \{1, \ldots, l\}$ (con $i_1 < i_2 < \cdots < i_r$), la submatriz $\left( \begin{matrix} C \\ C^{(i_1)}\\ \vdots \\ C^{(i_r)} \end{matrix} \right) \in M_+(k+2r,n)$ (incluso en el caso de $I=\phi$), y cada una de las $C^{(i)}$ sólo está bien definido hasta la adición de elementos de $C$.
Por conveniencia de notación deje $\mathcal A_{n,m} = Y_{n,2,m}$. El $l$-bucle amplituhedron es entonces la imagen de $\{[C'] | C'\text{ is }l\text{-positive}\} \times \{Z\}$ en $G(k,k+m) \times (G(2,k+m))^l$ con la aplicación de $Y_{n,k,m}$ a $([C],Z)$ e $\mathcal A_{n,m}$ a cada una de las $([C^{(i)}],Z)$ (todos con el mismo $Z$). Esto se llama $\mathcal P_{n,k,l,m}$ (Trnka gotas de la $m$, presumiblemente desde $m=4$ para la física). El espacio en el que esto está implícito en no tiene ningún significado, ya sea de forma combinatoria o físicamente. Podríamos llevarlo a ser en el $l$veces producto de la $G(2,m)$ paquete de más de $G(k,k+m)$ de manera tal que la fibra en cada punto es el de los $2$-planos ortogonales a ese $k$-plano.
Es importante darse cuenta de que la amplituhedron en sí no es tanto el objeto de interés: lugar, que es un meromorphic forma de volumen definido (y en el Grassmannian, o bulto de más de Grassmannian, en la que el amplituhedron es Zariski densa). El trabajo principal de la amplituhedron es ayudar a concretar este formulario: el formulario es necesario para estar bien definida en el interior de la amplituhedron. Parece muy difícil de hacer esta declaración significa nada sin hablar del real positivo partes de variedades.
Los parámetros son importantes para la física, así que me voy a la lista de ellos, pero por supuesto, si usted no está interesado en la física se pueden configurar para ser lo que quieras. $k$ es el orden en teoría de la perturbación. $l$, el lazo de la orden. $m=4$ es el caso de la física, pero, en principio, $m$ puede ser cualquier número entero positivo ($m=2$ hace que el bucle de la parte trivial, por lo $m=4$ es en cierto sentido el primer caso interesante). $n$ es el número de impulsos en el proceso de la dispersión. $Z$ es un resultado positivo de la matriz que representa a todos los ímpetus, pero al menos para el propósito de la combinatoria de la estructura de la realidad no depende de la elección de $Z$. Por supuesto, hay casos en los que la construcción no tiene sentido; estos son irrelevantes para la física (por ejemplo, $n-k < m$ es no físico). También, mientras yo estoy hablando de la física, la física de las predicciones de la amplituhedron, hay una particular forma de volumen que simplemente es integrado a través de la región. Este volumen da la amplitud para el proceso.
