¿Qué tan factible es probar la propiedad de Kazhdan (T) por una computadora?

Question

Recientemente, me han demostrado que Kazhdan de la propiedad (T) es teóricamente comprobable por equipos (arXiv:1312.5431, se explica a continuación), pero estoy bastante cojo con computadoras y tiene ni idea de lo que realmente puede hacer. Entonces, mi pregunta es qué tan factible es demostrar la propiedad (T) de un determinado grupo, decir $\mathrm{Out}(F_{r>3})$ (un famoso problema abierto), mediante la resolución de la ecuación de abajo por un ordenador? Incluso en el caso de $\mathrm{SL}_{r>2}({\mathbb Z})$ donde la propiedad (T) es conocido no está claro.

Un grupo de $\Gamma$, generado por un subconjunto finito $S$ y con sus no-normalizado Laplaciano se denota por $$\Delta=\sum_{x\in S} (1-x)^*(1-x)=\sum_{x\in S} (2-x-x^{-1})\in{\mathbb Z}[\Gamma],$$ tiene la propiedad (T) iff la ecuación en ${\mathbb Z}[\Gamma]$, $$ m \Delta^2 = n \Delta + \sum_{i=1}^k l_i \xi_i^*\xi_i $$ tiene una solución en $k,m,n,l_i\in{\mathbb Z}_{>0}$ e $\xi_i\in{\mathbb Z}[\Gamma]$.

Answer 1

El uso de la $\Delta^2- \epsilon \Delta$ enfoque, Tim Netzer y he comprobado Kazhdan de la propiedad (T) por ${\rm SL}(3,\mathbb Z)$. Para el estándar de los generadores $e_{ij}$ ($i\neq j$) podemos mostrar un espectral de la brecha de la normalizado operador de Laplace de $1/120$. Hay un montón de espacio para la mejora.

A mi entender, la mejor conocida anteriormente límite inferior fue de alrededor de $1/3500000$ (y la mejor cota superior de la $1/3$).

El enfoque utiliza un positivo semi-definida paquete de programación en MatLab, que se utiliza para adivinar un gran positivo semi-definida de la matriz y de Mathematica para verificar simbólicamente (cálculos con fracciones, etc.) que este hecho produce una suma de cuadrados de descomposición + algunos fáciles de discusión teórica que se ocupa de los términos de error. El argumento final es puramente simbólico y no implica ningún numérico de cálculo que podría implicar errores debido al redondeo, etc.

Estamos planeando escribir una breve nota y hacer el cálculo disponibles en la internet. Ahora, tratamos de ver lo que tenemos para ${\rm Aut}(F_4)$.

Editar el 11 de noviembre de 2014: Hemos subido el preprint con un adjunto cuaderno de Mathematica para el arXiv, http://arxiv.org/abs/1411.2488.

Answer 2

Creo que lo adecuado es dejar que MO saber los usuarios (el OP él mismo lo sabe bien) que esta pregunta fue resuelto recientemente: es factible proporcionar un equipo basado en la prueba de la propiedad (T) utilizando la Ozawa Ecuación y este método fue aplicado con éxito a los grupos mencionados en la pregunta. En particular, el famoso problema abierto anteriormente aludida está resuelto. El cálculo se realiza a través de semidefinite de programación, según lo sugerido por David Speyer en su respuesta.

Ver Kaluba-Kielak-Nowak para una prueba de que $\mathrm{Aut}(F_n)$ ha (T) por $n\geq 5$. El caso de $n=5$ fue tratado anteriormente en Kaluba-Nowak-Ozawa. Algunos de los primeros se obtuvieron resultados positivos en Netzer-Thom y Fujiwara-Kabaya.

Tomamos nota de que $\mathrm{Aut}(F_2)$ e $\mathrm{Aut}(F_3)$ son conocidos por no tener (T), y el caso de $\mathrm{Aut}(F_4)$ todavía está abierta. Todo esto es bastante notable.

Answer 3

Puedo hacer un poco de progreso aquí. Uno de sus principales subproblemas es: Dado un computables del grupo $G$, una lista limitada de elementos $T \subseteq G$ y un elemento $\alpha \in \mathbb{Q}[G]$, determinar si existen $\xi_1$, $\xi_2$, ..., $\xi_k$ en $\mathbb{R} T$, de modo que $$\alpha = \sum_{i=1}^k \xi_i \xi^{\ast}_i.$$

Este problema puede ser resuelto por semidefinite de programación, que es un campo de análisis numérico con un buen desarrollo de kits de herramientas. En particular, voy a resolver el problema anterior para todos los $k$ a la vez.

Escribir los elementos de la $T$ como $g_1$, $g_2$, ..., $g_t$ y escribir $$\xi_i = (g_1 \ g_2 \ g_3 \ \cdots \ g_t)^T \cdot a_i$$ donde $a_i \in \mathbb{R}^t$. Entonces la ecuación anterior se $$\alpha = (g_1 \ g_2 \ g_3 \ \cdots \ g_t)^T \left( \sum_{i=1}^k a_i a_i^T \right) (g_1^{-1} \ g_2^{-1} \ \cdots \ g_t^{-1} ).$$

Recordemos que un $t \times t$ real de la matriz $X$ puede ser escrito como $\sum a_i a_i^T$ si y sólo si $X$ es positivo semidefinite. Así que la pregunta es ¿existe una matriz $X$ tal que

(1) $X$ es positivo semidefinite y

(2) $\alpha = (g_1 \ g_2 \ g_3 \ \cdots \ g_t)^T X(g_1^{-1} \ g_2^{-1} \ \cdots \ g_t^{-1} )$

Tenga en cuenta que la condición (2) es un afín condición lineal en $X$. Resolución de ecuaciones lineales con la restricción de que las variables sean positivos semidefinite matrices es lo que SD programación es todo acerca de.

Trabajar un poco más duro, usted debe ser capaz de copiar Peter Shor el truco aquí y maximizar $r$ sujeto a la SD del programa de $$\Delta^2 = r \Delta + (g_1 \ g_2 \ g_3 \ \cdots \ g_t)^T X(g_1^{-1} \ g_2^{-1} \ \cdots \ g_t^{-1} ),\ X \ \textrm{positive semi definite};$$ así se obtiene una espectral de la brecha si el óptimo $r$ es positivo.

Espero que la parte más difícil será elegir el conjunto $T$ a uso; no tengo ideas acerca de esto.