¿Euclides está muerto?

Question

Al parecer Euclides murió hace cerca de 2,300 años (en realidad 2,288 para ser más precisos), pero el título de la pregunta se refiere a el grito de guerra de Dieudonné, "Un bas Euclide! Mort aux triángulos!" (ver el Rey del Espacio Infinito: Donald Coxeter, el Hombre Que Salvó a la Geometría por Siobhan Roberts, p. 157), a menudo asociada en la mente popular con Bourbaki la postura general en riguroso, formalizado matemáticas (evitando las representaciones pictóricas, etc.). Ver Dieudonné la dirección de la Royaumont seminario para su propio articulado de la postura.

En breve, la sugerencia fue la de sustituir la Geometría Euclidiana (por ejemplo) en la escuela secundaria plan de estudios con los más modernos matemáticos áreas, como por ejemplo la Teoría de conjuntos, Álgebra Abstracta y (suave) Análisis. Estas ideas fueron influyentes, y la Geometría de Euclides fue poco a poco degradado en francés de educación de la escuela secundaria. No abolido totalmente, aunque: todavía es una parte del plan de estudios, pero sin el interesante y difícil de las pruebas y la axiomática de la fundación. De forma análoga degradación/abolición de la EG tuvo lugar en la mayoría de los países Europeos durante los años 70 y 80, especialmente en la Occidental Europea. (Una excepción es Rusia!) Y junto con, por ejemplo hubo una gradual desaparición de pruebas de matemáticas de la escuela secundaria plan de estudios, en la mayoría de los países Europeos; la dificultad (como yo lo entiendo) que la mayoría de las pruebas y los conceptos de la moderna matemática áreas que sustituyó por ejemplo o bien se requiere de madurez o no eran lo suficientemente interesantes para los estudiantes, y poco a poco la mayoría de estas pruebas fueron abandonados. Unos diez años más tarde, hubo llamadas en general, que la geometría de retorno, como la introducción de la alternativa matemático de áreas de no producir los resultados deseados. Así, por ejemplo volvió, pero no en su forma original.

Yo enseño en una Universidad (no secundaria), y nos mantenemos a la introducción de nuevos cursos de iniciación, de matemáticas de la especialidad, como nuestros nuevos estudiantes no saben qué es una prueba de ello es. [Cf. el aumento de los cursos de la universidad en los estados unidos que vienen bajo el título de "Introducción a la Matemática de las Pruebas" y similares.]

Estoy interesado en escuchar argumentos para y contra el retorno de EG a la escuela secundaria plan de estudios. Algunas preguntas: ¿es necesario que los estudiantes de secundaria a estar expuesto a las pruebas? Si es así, es que hay un más eficiente matemática tema, para estudiantes de secundaria, con el fin de aprender lo que es un teorema, un axioma y una prueba?

La divulgación completa: actualmente estoy liderando una campaña para el regreso de EG para el plan de estudios de las escuelas secundarias de mi país (Chipre). Sin embargo, estoy realmente interesado en escuchar los argumentos a favor y en contra.

Answer 1

Cuando yo estaba en la escuela secundaria (en la década de los años 1960), la geometría de Euclides fue el único curso en el plan de estudios estándar que nos obligó a escribir pruebas. Estas pruebas, sin embargo, se encontraban en un formato rígido, con las declaraciones en el lado izquierdo de la página y una razón para cada declaración en el lado derecho. Así que me temo que muchos de los estudiantes obtuvo una idea equivocada de lo que las pruebas son muy similares. También tengo la idea de que las pruebas son sólo para la geometría; cursos posteriores (en el plan de estudios regular, no cursos de honores) no implican pruebas. El libro de texto que utilizamos también tenía algunos defectos relativos a las pruebas. Por ejemplo, el Teorema 1 la palabra-por-palabra idéntica con el Postulado de 19; Teorema 1 se da una prueba de que no implican Postulado 19, por lo que, en efecto, nos mostraron que Postulan 19 es redundante, pero la redundancia nunca fue mencionado, y aún no sé por qué redundante postulado fue incluido en el primer lugar. Otro defecto de los cursos estándar en la geometría fue que, debido a la necesidad suavemente enseñar cómo encontrar y escribir pruebas (en que formato rígido), muy poco interesante geometría fue enseñado; la clase era sobre todo demostrando trivialidades. Tuve la suerte de estar en una honores de la clase, con un excelente instructor que nos mostró algunas cosas realmente interesantes (como los teoremas de Ceva y Menelao), pero la mayoría de los estudiantes en mi escuela no tenía esa ventaja.

Suponemos que la geometría Euclidiana puede ser utilizado para una buena introducción a la demostración matemática, pero, como en el párrafo anterior muestra, hay muchas cosas que pueden salir mal. (Hay otras cosas que pueden salir mal. He mencionado que tuve un excelente profesor. Pero mi escuela también había profesores de matemáticas que sabía muy poco acerca de las pruebas o sobre la geometría más allá de lo que fue en el libro de texto.) Así que mi consejo es, si se quiere desarrollar un curso como el que se describe en la pregunta, proceder, pero de ser muy cuidadoso.

Por cierto, hace muchos años, he recomendado a mi departamento de la universidad que tenemos uso de un curso de geometría proyectiva como una "introducción" a prueba de curso. La idea era que allí son bastante fáciles de pruebas, y los resultados no son tan evidentes, de manera intuitiva, como igualmente fáciles de resultados de la geometría Euclidiana. Mi sugerencia no fue adoptada.

Qiaochu del Yuan sugerencia de la matemática discreta en lugar de la geometría podría tener ventajas similares como mi geometría proyectiva de la propuesta, pero todavía estará sujeto a muchas de las dificultades que he indicado anteriormente, además de uno más: la Mayoría de matemáticas de secundaria maestros saben menos acerca de la matemática discreta que se hacen acerca de la geometría.

Answer 2

Yo trato de mantener mi respuesta corta.

Hecho: la geometría Euclidiana aún se enseña en Iraní escuelas intermedias y secundarias.

Observación (basado en la investigación): la Mayoría de los maestros no les gusta enseñar geometría. Dicen que, cuando se enseña la geometría, siempre se enfrentan con problemas que no sabe cómo resolverlos. Pero, parece que no tienen ese problema con el resto de la enseñanza de matemáticas en la escuela! El pensamiento de su campaña, pregúntate a ti mismo, tienes suficiente profesores dispuestos a enseñar geometría y ser capaz de hacerlo?

Hecho : Hay al menos un matemático que está en el amor con triángulos. Aquí está una cita de su papel en La Mathematical Intelligencer:

Ningún objeto se ha servido alguna vez de las matemáticas mejor o más. Comparar la número de trivial resultados que son verdaderas para todos los topológico espacios, anillos, grupos, etc, sin poner extra suposiciones sobre ellos con el número de trivial resultados que son verdaderas en cualquier triángulo...Cuando se trata de deducir de los resultados en matemáticas sólo de la definición de un objeto, nada puede sostener una vela a la triángulo. El triángulo servirá de matemáticas para siempre.

Opinión: Hay una gran diferencia entre la enseñanza de la geometría como una fuente de problemas fascinantes, y como un cuerpo rígido de la axiomática del conocimiento. Personalmente, estoy a favor de la primera. Ir a la observación de arriba!

Answer 3

Recomiendo leer este artículo de Sharygin. (Está en ruso, pero vale la pena traducir.) Usted verá las razones para volver por ejemplo, en la escuela, también las razones por las que desaparece.

Sharygin es mi héroe, él es el autor de muchos muy buenos libros de matemáticas para estudiantes de la escuela, también escribió la mejor (la opinión es mía) libro de texto en la geometría Euclidiana para la escuela.

P. S. quiero compartir lo que yo sé sobre la historia de la geometría del plan de estudios en la escuela rusa. Teníamos un libro de texto de Kiselev, que sirvió durante más de medio siglo. Fue cambiando lentamente, al principio estaba muy cerca de Euclides y sus Elementos. (Si usted pregunta acerca de la geometría de alguien de la generación de mis padres, sus ojos comienzan a irradiar energía positiva y empiezan a explicar lo maravilloso que fue la experiencia.)

Después de eso (60 s) de iniciar los cambios. Primera Nikitin del libro --- un gran paso atrás. Después de eso, en vez de volver a Kiselev, muchos libros fueron escritos por prominentes matemáticos (incluyendo Alexandrov y Pogorelov) estos libros fueron aún peor que Nikitin del libro. Más tarde Sharygin del libro aparece; es un libro muy bueno, pero muy exigente desde el maestro (es decir que la geometría absoluta no se discute, pero si el profesor no está familiarizado con la geometría absoluta, a continuación, que no se puede enseñar correctamente).

Ahora tenemos el llamado "examen estatal Unificado" (el peor de la reforma que se ha hecho en Rusia) es demasiado expansiva o de imposible verificación de las pruebas en este examen; la posterior toallitas geometría en el currículo de la escuela; formalmente todavía está allí, pero ya no es necesario para aprobar el examen, nadie necesita aprender.

Conclusión: parece que cada gran reforma a la educación peor. La dirección correcta sería la de cambiar las cosas poco a poco, y tiene que ser hecho por los maestros con la ayuda de la academia, no la otra manera alrededor.

Answer 4

Mientras esta pregunta es abierta que bien podría lanzar en mis dos centavos. Creo que no es útil para enseñar geometría Euclidiana para los estudiantes de escuela secundaria. Aquí están algunas de las razones que puede pensar la gente para enseñar la geometría Euclidiana para los estudiantes de escuela secundaria y por qué creo que son malas razones:

• Como una introducción a la noción de una prueba. Como he dicho en los comentarios, creo que hay mejores opciones, tales como las áreas de la matemática discreta como elementales de la teoría de números, la combinatoria elemental o primaria de la teoría de grafos. A diferencia de la geometría Euclidiana, al menos, parte de este material ha trivial aplicaciones: por ejemplo, la aplicación de elementales de la teoría de números a la criptografía o la aplicación de la combinatoria para el análisis de algoritmos. También a diferencia de la geometría Euclidiana, este material ofrece una gran oportunidad para ordenador basado en la exploración: por ejemplo, el Proyecto de Euler. Pero ni siquiera está claro para mí que los estudiantes de escuela secundaria que realmente necesitan una introducción a la prueba.

• Como preparación para otros temas que los estudiantes de escuela secundaria debe saber. La geometría euclidiana podría no ser una mala manera de preparar a los estudiantes para la trigonometría y, finalmente, el cálculo, pero no creo que la escuela secundaria que los estudiantes deben aprender estas cosas. Lo mismo va para la física.

• Como preparación para el uso de las matemáticas en la vida diaria. Aquí creo que temas como el de Fermi y estimación de algunos conceptos básicos de la probabilidad y la estadística sería más útil (por ejemplo, para ayudar a la gente a hacer mejor las políticas y las decisiones médicas). Como lo que puedo decir que la mayoría de las personas no tienen ningún uso para la geometría Euclidiana en su vida diaria.

• Como preparación para puestos de trabajo que implican las matemáticas. Si los estudiantes quieren tomar ese tipo de empleos, la matemática puede ser enseñado a ellos como parte de su capacitación para el trabajo, o se puede recoger en sí mismos. Tenga en cuenta que hay muchas personas con trabajos de programación a pesar de la falta general de programación en la mayoría de los planes de estudios de la escuela secundaria.

Answer 5

La geometría euclidiana es aún se enseña en los institutos Americanos, pero estoy totalmente en contra de ella. Creo que debe ser reemplazado con el álgebra lineal.

Argumentos en contra de la geometría Euclidiana:

• Más de lo que puedes probar en una escuela secundaria de la geometría Euclidiana clase parece bastante obvio hasta que usted aprenda acerca de la geometría no Euclidiana. Esto hace que los estudiantes piensan que las pruebas son pedante por su propio bien.

• La geometría euclidiana es básicamente inútil. No fue, sin duda, un tiempo cuando la gente utiliza la regla y el compás de la construcción en la arquitectura o el diseño, pero que el tiempo se ha ido hace tiempo.

• La geometría euclidiana es obsoleto. Incluso los estudiantes que entran en matemáticas probablemente nunca usar de nuevo.

Argumentos para álgebra lineal:

• $\mathbb{R}^2$ con el estándar interno producto es un modelo de los axiomas de Euclides, por lo que, en particular, usted puede todavía ser los mismos teoremas que si usted realmente desea.

• Álgebra lineal se generaliza fácilmente a dimensiones mayores que 3, en el que la mayoría de los estudiantes intuición geométrica se rompe, entonces es más fácil para ellos para apreciar la necesidad de axiomas y teoremas.

• Álgebra lineal - particularmente los autovalores y autovectores - es omnipresente en la ciencia moderna y la ingeniería. Yo diría que la persona promedio es mucho más probable que se encuentre un autovalor problema de un problema de cálculo.

• Álgebra lineal es, por supuesto, sigue siendo el lenguaje básico en el que la mayoría de las matemáticas es expresa y por lo tanto una clase de álgebra lineal es una de las más honesto gusto de lo que la matemática es todo acerca de.

• Proporcionar a los estudiantes con una primera fundación en álgebra lineal haría más tarde la educación sea lo más fluida. Incluso muchos de los científicos que no uso el software que se basa en la resolución de sistemas lineales o el cálculo de la matriz de descomposición, y podría ayudar a que estas personas tengan un poco más de contexto. Y los que van a tomar más clases de ciencias - especialmente la física - más obviamente beneficio. Si nada más, que podría finalmente ser capaz de enseñar a nuestros alumnos el correcto segunda derivada de la prueba en el cálculo multivariable clases...