El concepto de relación en la historia de las matemáticas, ya sea de manera consciente o no, siempre ha sido importante: pensar en el fin de las relaciones o de las relaciones de equivalencia.
¿Por qué hubo la necesidad de identificar un tipo particular de relaciones, a saber, el de los funcionales? Supongo (pero no tengo datos acerca de este), históricamente, el reconocimiento de que "operativa", expresiones como $x^3$ o $\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ podría ser formalizado como las relaciones funcionales llevó a dedicar más atención a las funciones de entenderse en el moderno conjunto sentido teórico (es decir, como un caso especial de las relaciones). Esta perspectiva permite considerar aspectos tales como la función de Dirichlet $\chi_{\mathbb{Q}}$ (que antes no era considerado incluso a ser una verdadera "función"!) como plenamente legítimo de los objetos, y para no despedirlos como patológico, con gran ventaja teórica. El lenguaje y la notación de funciones, se prefirió incluso a lidiar con las cosas que, técnicamente, las relaciones: pensar en "multi-funciones con valores" en el complejo de análisis, tales como $\sqrt x$ o $\log (x)$.
1) En el que las instancias en las matemáticas modernas, son las relaciones utilizado como importantes generalizaciones de funciones? Un ejemplo que viene a la mente es correspondencias en el sentido de la geometría algebraica.
En Álgebra moderna el concepto de homomorphism, una especie de función entre las estructuras algebraicas, es central; estamos acostumbrados a ver expresiones como $f(x*y)=f(x)*f(y)$. Pero sería igualmente posible definir una "relación homomórfica" $R$, por ejemplo en grupos, por lo que el requisito de: $(xRz$ & $yRt)$ $\Rightarrow$ $(x*y)R(z*t)$, donde $*$ es la multiplicación del grupo.
2) Tiene este tipo de "homomórfica de relaciones" se ha estudiado (en grupos o de otras estructuras algebraicas)? ¿Por qué el álgebra es impregnada con homomorphisms pero nunca vemos "homomórfica de relaciones"? ¿Hay algo más que razones históricas?
Vamos a Establecer ser el habitual de la categoría de conjuntos, y Rel ser la categoría de conjuntos-con-relaciones-como-morfismos.
No es el fiel functor Conjunto $\to$ Rel que simplemente se mantiene fija intacta y envía una función con su gráfica. Y hay también un fiel functor Rel $\to$ Establecer la asignación de $X\to 2^X$ e $R\subseteq X\times Y$ a $R_*:2^X\to 2^Y, A\mapsto R_*(A)=\{ y\in Y\; |\; \exists x \in A : (x,y)\in R \}$.
A pesar de lo trivial fundacional hecho de que el conjunto teórico de las funciones están definidas para ser un tipo especial de relaciones, parece que en la categoría de la teoría de Conjunto tiene prioridad en Rel. Por ejemplo, el Yoneda del lexema está indicado para el Conjunto; y que la gente hable de simplicial conjuntos, no simplicial relaciones; y la categoría de Rel es sólo recuperan como "el Kleisli categoría de la powerset endofunctor en Conjunto" (me acabo de enterar de esto de la wikipedia) y no parece ser tan ubicuo como el Conjunto (pero esta impresión podría depender de mi ignorancia en la categoría de teoría).
3) Son funciones realmente más central/importante que en las relaciones, en la categoría de teoría? Si es así, es sólo por razones históricas o hay algunos más "intrínseca" razones? E. g. hay un análogo de Yoneda del lema para el Rel?
