¿Por qué la torsión es importante en la (co) homología?

Question

Una vez he sido informado de que "de torsión en la homología y cohomology es considerado por topologists como una muy profunda e importante fenómeno". Supongo que la misma declaración se dijo que en el contexto de la geometría algebraica.

En esta wiki de la comunidad pregunta que me gustaría reunir los ejemplos, geométrica campos, tales como la topología algebraica y la geometría algebraica, de los fenómenos que se manifiestan por la presencia de torsión en la (co)homología de grupos y cuyo rastro es constantemente perdido si hacemos caso omiso de la torsión parte de esos grupos. Como directrices para las respuestas:

Qué tipo de información se pierde prescindiendo de torsión en la (co)homología? (dar ejemplos)

¿Qué hace la torsión de la parte de la (co)homología nos dicen acerca de los objetos geométricos involucrados? (dar ejemplos)

Aquí "(co)homología" debe ser entendido en cualquier sentido, de lo singular cohomology de cw complejos étale cohomology de variedades algebraicas y así sucesivamente y así sucesivamente.

Bien puede ser cierto que el algebro geométricas ejemplos no tienen nada que ver, conceptualmente, con la topológico queridos: no estoy interesado en la unificación de un patrón de por sí, pero si la unificación de un patrón aparece en algunas respuestas, bueno, es bueno.

Answer 1

En su artículo "Algunos Ejemplos Elementales de Unirational Variedades Que No son Racionales", Artin y Mumford muestran que la torsión en $H^3(V, Z)$ no singular proyectiva 3 veces $V$ es un birational invariante. Esto es muy bueno porque le da un cohomological obstrucción de la racionalidad (no hay torsión en el cohomology de espacio proyectivo). Ellos son capaces de demostrar que ciertas cónica haces más racional de las superficies no son racionales mediante la exhibición de tales torsión (sus cónica paquetes son unirational, de ahí el título). El papel es muy bonito.

Answer 2

El primer lugar que uno ve que la torsión es profundo está en la homotopy grupos de esferas, que, mod de torsión, se describen completamente por un teorema de Serre. Sin embargo, la torsión de la parte de la homotopy grupos de esferas es muy complicado.

Si trabajamos de manera racional, es decir, si nos olvidamos de torsión, entonces un montón de cohomology teorías tienden a ser los mismos. (Hay un teorema general de este tipo, pero he olvidado la declaración precisa.) Por ejemplo, singular cohomology y K-teoría son isomorfos, racionalmente, a través de Chern carácter.

Answer 3

[[ Lo siento perdida que la pregunta se ocupa también de la cuestión en una expresión algebraica topológico contexto. Esta respuesta sólo se ocupa de la geometría algebraica.]]

Creo que la primera pregunta es mucho más fácil de contestar. mdeland ha dado la Artin-Mumford no-racionalidad ejemplo, como una respuesta. Otro es el Atiyah-Hirzebruch ejemplo de un grado de torsión de la clase de un suave proyectiva variedad que no es algebraica, que demuestra que una versión integral de la Hodge conjetura es falsa. Esto da ejemplos (hay otros) donde torsión puede ser utilizado para mostrar algo acerca de una variedad algebraica que uno no podía mostrar sin (en realidad, yo diría que es más una cuestión de integral frente a racional cohomology incluso sin torsión uno puede explotar de que ciertos cohomology las clases no son divisibles por un determinado número entero). Yo diría que le da un respuesta a la primera pregunta.

La segunda es de una naturaleza muy diferente. En topología algebraica de torsión (y más general integral cohomology de nuevo frente racional cohomology) son de enorme importancia para la comprensión de la homotopy tipo de espacio. Tomar como un ejemplo de las esferas. Racionalmente sus homotopy teoría es trivial, pero integralmente tienes altamente no trivial homotopy grupos (esto no trivialidad no se refleja a sí mismo en el cohomology de las esferas, pero está estrechamente relacionado con los espacios derivado de las esferas, las piezas de la torre de Postnikov). Por supuesto variedades algebraicas (sobre $\mathbb C$, pero que no es esencial) dar homotopy tipos demasiado, pero no siempre está claro cuál es el homotopy tipo de una variedad algebraica le dice a usted acerca de la algebro-estructura geométrica de la variedad (a menos que de alguna manera incorporar topología algebraica en virtud de la geometría algebraica...). Hay algunos ejemplos: La torsión en el segundo cohomology grupo viene directamente desde el grupo fundamental y, en particular, dar abelian étale cubre de de la variedad. La torsión en el tercer cohomology grupo le dice acerca de la El grupo de Brauer de la variedad y, en particular, le corresponde (para algunos definición de la "corresponde") para proyectiva fibrations sobre la variedad. La correspondencia es bastante indirecta, sin embargo. Yo por ejemplo el amor a los que menos saben relación de la dimensión de un proyectiva fibration a través de una superficie que Enriques se da cuenta de que el elemento de orden $2$ en el tercer cohomology grupo o, mejor aún, de construcción geométrica de cualquier fibration. En la mayor cohomological grados la situación es aún peor (a menos que uno elija por encima de la incorporación de la opción, mayor algebraica de las pilas podría decirse que lo hacen).

Answer 4

Yo sólo quería añadir dos más ejemplos acerca de torsión en cohomology grupos de bajo grado que vino a mi mente la lectura de los anteriores (gran) respuestas:

• Cualquier elemento de torsión en $H^2(M, \mathbb{Z})$ para un espacio de $M$ puede ser comprendido como la primera clase de Chern de un complejo plano de la línea de paquete.
• Similar a esto, usted puede saber que elementos en $H^3(M, \mathbb{Z})$ corresponden (hasta algunos de equivalencia) a giros en twisted K-teoría. Ahora, si la clase es de torsión, se obtiene una muy buena descripción de la trenzado K-teoría a través de los módulos a través de paquete de gerbes. O, si no te gusta twisted K-teoría, la torsión de los elementos en $H^3(M,\mathbb{Z})$ corresponden a (estable de clases de equivalencia) de aquellos paquete de gerbes, que permiten un finito (dimensiones) de paquete gerbe módulo.

Answer 5

Inspirado por Ulrich Pennig la respuesta, voy a mencionar que Chern-Weil teoría nos dice que las clases de Chern de un piso paquete de más de un colector son siempre trivial en racional cohomology. Pero muy a menudo son no triviales integral cohomology, y por lo tanto proporcionan un método para distinguir entre el plano de paquetes. Por ejemplo, más de una no-orientable de la superficie, no son precisamente dos tipos de isomorfismo de plano vector de paquetes en cada dimensión (siendo uno de ellos el trivial bundle), que se distingue por su primera clase de Chern en $H^2 (S; \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2$.