¿Qué es el amplituhedron?

Question

El papel de la"Dispersión de las Amplitudes y de la Positiva Grassmannian" por Nima Arkani-Hamed, Jacob L. Bourjaily, Freddy Cachazo, Alexander B. Goncharov, Alexander Postnikov, y Jaroslav Trnka, introduce una nueva y sorprendente manera de cálculos en la teoría del campo cuántico basado en el volumen de los cálculos de algunos poliedros. Este y otros trabajos relacionados también puede tener profundas implicaciones para la fundación de la física de partículas. Está relacionado con varias hermosas las matemáticas, y, en particular, a la combinatoria de algunas estratificaciones de la Grassmanians.(Véase también el Quanta artículo de la Revista, Una Joya en el Corazón de la Física Cuántica, por Natalie Wolchover, y Nima Arkani-Hamed en línea de SUSY 2013 video conferencia El Amplituhedron.)

El amplituhedron es notable nuevo posteriores objeto geométrico que se presenta en este estudio la ampliación de la noción de "positivo grassmanian." (Yo no veo definidas explícitamente en el documento mencionado, al menos no con este nombre.) Es muy describen brevemente en Arkani-Hamed de la conferencia.

Mi pregunta es muy simple:

¿cuál es la definición matemática de la amplituhedron?

Una más vieja hermana MO pregunta: El amplituhedron menos la física

Actualización: El papel de La amplituhedron por Nima Arkani-Hamed y Jaroslav Trnka está ahora en el arxive.

Actualización: Ver también este post del blog de Trnka http://www.preposterousuniverse.com/blog/2014/03/31/guest-post-jaroslav-trnka-on-the-amplituhedron/

Answer 1

Yo creo que esta presentación por Jaroslav Trnka, que aquí en Utrecht, va por lo menos de alguna forma a una definición matemática de la amplituhedron.

Para omitir la física, la motivación, empieza en la página 13; la jerga y las abreviaturas, como NMHV = "next-a-máxima helicidad-violando" puede ser ignorado (sólo se refieren a la física importancia de la construcción). La construcción de la amplituhedron $P_{n,k,m}$ se resume en la página 23. Lo que sigue en páginas posteriores es la descripción de cómo asociar un formulario de $\Omega_{n,k,m}$ a el espacio de $P_{n,k,m}$ y utilizar esto para calcular la cantidad física (una dispersión de amplitud).

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Mi intento de analizar una definición de la amplituhedron de Trnka de la presentación:

Dados los números enteros $k,n,m$ (con $n\geq k+m$) tienen un $k\times n$ real de la matriz $C\in G_{+}(k,n)$ y un $(k+m)\times n$ real de la matriz $Z\in G_{+}(k+m,n)$. Aquí $G_+(k,n)$ es el positivo Grassmannian espacio de $k\times n$ matrices con todos los $k\times k$ menores $>0$. (El $k\times n$ matrices son identificados modulo la acción simultánea de una $k\times k$ de la matriz en cada uno de los vectores columna.)

Asociados a estos dos positivos Grassmannians es el $k\times (k+m)$ real de la matriz $Y$ tener elementos de la matriz de

$$Y_{\alpha}^{\beta}=\sum_{p=1}^{n}C_{p}^{\alpha}Z_{p}^{\beta}.$$

Variando $C\in G_{+}(k,n)$ fijos $Z\in G_{+}(k+m,n)$, la matriz $Y$ varía en un espacio de $P_{n,k,m}$. Este espacio se llama el amplituhedron.

Answer 2

Ahora hay un artículo de Avisos de AMS cuyo título es el mismo que el de esta pregunta (y que, por lo tanto, puede ser esclarecedor para cualquiera en esta página): http://www.ams.org/journals/notices/201802/rnoti- p167.pdf

Answer 3

Además de Carlo Beenakker la maravillosa respuesta: parece Penrose del twistor formalismo (twistor diagramas) juega un papel central en este amplituhedron de negocios. Ver http://www.twistordiagrams.org.uk/papers/index.html para la descripción de la evolución histórica que condujo al descubrimiento de amplituhedron. Otra información útil que se puede encontrar en http://ncatlab.org/nlab/show/amplituhedron

Answer 4

Permítanme darles una breve versión de una respuesta que he publicado en el Joe, la hermana de la pregunta.

Alexander Postnikov dio una detallada serie de conferencias sobre el positivo Grassmanian en la Universidad hebrea de Jerusalén (ver enlaces más abajo). Él también se refirió brevemente a la amplituhedron.

Siguientes Postinkov, me puede explicar brevemente la situación de la siguiente manera:

A) La estratificación de la positiva Grassmanian:

Respecto a la Grassmanian, como los representados por clases de equivalencia de $m$ por $n$ matrices ($m \le n$) en la fila de los operadores. La no-negativo Grassmanian es el conjunto de totalmente no negativa de matrices es decir, aquellos donde todos los $m$ por $m$ menores de edad son no negativos. Tiene una importante célula-como la estructura que puede ser definido por la relación de dos matrices en la misma celda, si cada vez que un $m$ por $m$ menor de una matriz es cero, por lo que es la matriz correspondiente de la otra.

B) La amplituhedron:

Recordemos que cada polytope es una proyección de un simplex y proyecciones con respecto a totalmente positiva matrices de dar precisamente la cíclico polytope.

Ahora, reemplace el simplex por la positiva Grassmanian: El amplituhedron es una proyección de la positiva Grassmanian basado en una totalmente positiva de la matriz. Así que el amplituhedron es común que la generalización de los positivos grassmanian y el cíclico polytope!

Video1, Video2, Vídeo3, Vídeo4

Postnikov de diez minutos de explicación de la amplituhedron comienza aquí.

Actualización: Algunos detalles más y enlaces se pueden encontrar en el blog Del simplex, la cíclica polytope, el positroidron, el amplituhedron y más allá.