El homeomorfismo entre la unidad abierta de la bola y $ \mathbb R^n$

Question

Deje que $B=\{x \in\mathbb R^n : ||x||<1\}$ la bola de la unidad abierta con la topología del subapartado de $ \mathbb R^n$ . Quiero mostrar que $B^n \cong\mathbb R^n$ con el mapa $F(x)= \tan ( \frac { \pi ||x||}{2}) \frac {x}{||x||}$ para $x \not =0$ y $F(0)=0$

Bueno $ \frac {x}{||x||}$ es más o menos la dirección del vector $x$ la norma es un número fuera de $[0,1)$ y la tangente escalada es un homeomorfismo de $[0,1)$ a los números reales positivos.

Quiero mostrar que $F(x)$ es contionous, bijective y hay un mapa inverso.

Inyección : Deje que $F(x)=F(y) \leftrightarrow ||F(x)||=||F(y)|| \leftrightarrow \tan ( \frac { \pi ||x||}{2})|| \frac {x}{||x||}||= \tan ( \frac { \pi ||y||}{2})|| \frac {y}{||y||}||$

Sé que la tangente es inyectada pero no veo cómo $x=y$ puede ser seguido.

Surjectivity : Deje que $y \in\mathbb R^n$ Ahora tengo que mostrar $ \exists x \in B^n: F(x)=y$ es decir $ \tan ( \frac { \pi ||x||}{2}) \frac {x}{||x||}=y$ No veo cómo se puede seguir la surjetividad de esto.

Mapa inverso : Sé que la tangente tiene un mapa inverso, a saber, la arctangente, pero ¿cómo se puede usar esto aquí?

Continuidad : Bueno, sé que la tangente es sólo continua. en $ \mathbb R \setminus\ {(n+ \frac {1}{2}) \pi : n \in \mathbb Z\}$

Answer 1

Inyectabilidad

$F(x)=F(y)$ con $x\ne0$ y $y\ne0$ significa

$$ \tan\biggl(\frac{\pi \|x\|}{2}\biggr)\frac{x}{\|x\|}= \tan\biggl(\frac{\pi \|y\|}{2}\biggr)\frac{y}{\|y\|} $$

Así que podemos suponer $x\ne0$ y $y\ne0$ . Entonces, tomando las normas, $$ \tan\biggl(\frac{\pi \|x\|}{2}\biggr)=\tan\biggl(\frac{\pi \|y\|}{2}\biggr) $$ porque $x/\|x\|$ tiene norma $1$ y lo mismo para $y/\|y\|$ Además $\tan t>0$ si $t>0$ . Por la inyectividad de la tangente se obtiene $$ \frac{\pi \|x\|}{2}=\frac{\pi \|y\|}{2} $$ así que $\|x\|=\|y\|$ y, finalmente $x=y$ .

Está claro que $F(x)=0$ si y sólo si $x=0$ Así que la prueba está completa.

Sobre la subjetividad

$0=F(0)$ por lo que sólo tenemos que demostrar que, para $z\ne0$ podemos encontrar $x$ con $F(x)=z$ . Deberíamos tener $$ z=\tan\biggl(\frac{\pi \|x\|}{2}\biggr)\frac{x}{\|x\|} $$ así que $$ \|z\|=\tan\biggl(\frac{\pi \|x\|}{2}\biggr) $$ por lo que $$ \frac{\pi\|x\|}{2}=\arctan\|z\| $$ es decir, $$ \|x\|=\frac{2\arctan\|z\|}{\pi}. $$ Así, el candidato es $$ x=\frac{2\arctan\|z\|}{\pi\|z\|}z $$ Comprueba que es el correcto.

Continuidad

La continuidad de $F$ es evidente en los puntos diferentes de $0$ porque se obtiene mediante funciones continuas. Como su dominio está formado por vectores con norma $<1$ no hay problema con la función tangente, porque sólo se consideran los argumentos en $(0,\pi/2)$ . La continuidad de la inversa es también evidente fuera de $0$

Son $F$ y su inversa continua en $0$ ?

Un hecho bien conocido es que $\lim_{x\to0}F(x)=0$ si y sólo si $\lim_{x\to0}\|F(x)\|=0$ Ahora $$ \|F(x)\|=\biggl\|\tan\biggl(\frac{\pi\|x\|}{2}\biggr)\frac{x}{\|x\|}\biggr\| =\tan\biggl(\frac{\pi\|x\|}{2}\biggr) $$ que obviamente satisface la propiedad solicitada. Lo mismo para la continuidad en $0$ de $F^{-1}$ .