Rigidez de la categoría de esquemas.

Question

Llamar a una categoría $C$ rígido si cada equivalencia $C \to C$ es isomorfo a la identidad. No sé si esta es la norma de terminología. Muchos de los habituales algebraicas categorías son rígidos, por ejemplo, se establece, conmutativa monoids, grupos, abelian grupos, anillos conmutativos, pero también la categoría de espacios topológicos. La categoría de monoids (o anillos) no es rígida, ya que $M \mapsto M^{\mathrm{op}}$ es una equivalencia que no es isomorfo a la identidad. Ver [M] para una encuesta y la estrategia general para la comprobación de la rigidez. El caso de anillos conmutativos fue discutido recientemente en MO aquí. La filosofía es que una categoría es rígido si cada objeto puede ser definido de una manera categórica, que es un muy interesante de la propiedad.

Pregunta: Es la categoría de esquemas rígidos?

Aquí es lo que he hecho hasta ahora: El esquema inicial es $\emptyset$ y el terminal esquema es $\text{Spec}(\mathbb{Z})$. Los espectros de los campos se caracterizan por la propiedad de que no son iniciales y y todos los morfismos de un no-objeto inicial para ellos es un epimorphism, ver a Kevin de la respuesta aquí. El conjunto subyacente $|X|$ de un sistema es el conjunto de clases de equivalencia de morfismos $Y \to X$ donde $Y$ es el espectro de un campo. Así que este recupera $|X|$ de $X$ en una manera categórica. Si $x \in |X|$,, a continuación, $\text{Spec}(\kappa(x))$ es el terminal espectro de un campo que se asigna a $X$ e ha (set) de la imagen)$x$.

Sin embargo, no soy capaz de recuperar la topología de $X$. No sé cómo caracterizar abierto o cerrado de las inmersiones. Son exactamente los étale resp. adecuado monomorphisms, ver este MO pregunta, pero parece ser difícil de caracterizar étale y adecuada categóricamente. Después de todo, si son capaces de caracterizar afín a sistemas, entonces vamos a hacer, ya que la categoría de afín a esquemas rígidos y cada esquema es la canónica colimit de los afín a los esquemas de asignación en ella.

Con el fin de caracterizar afín a sistemas, es suficiente para caracterizar el anillo objeto de $\mathbb{A}^1_\mathbb{Z}$ en la categoría de esquemas, desde luego, podemos definir el anillo de global secciones de un esquema de manera categórica y, a continuación, decir que afín esquemas $Y$ se caracterizan por la propiedad de que para todos los esquemas $X$ el mapa de $Hom(X,Y) \to Hom(\mathcal{O}(Y),\mathcal{O}(X))$ es bijective.

Otros enfoques: 1. En primer lugar demostrar que la categoría de los campos es rígida. Ya he demostrado que las nociones de primer campo, $\mathbb{F}_p$, $\mathbb{Q}$, finito, característica, normal, separables, algebraicas, galois, trascendente, la trascendencia de grado son categóricos, pero esto no es suficiente para distinguir, por ejemplo, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ e $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Si $F$ es un auto-equivalencia de la categoría de campos, a continuación, $F$ mapas de $K(X)$ a $F(K)(X)$, por lo que tomar automorfismos hay un isomorfismo natural $\text{PGL}(2,K) \cong \text{PGL}(2,F(K))$, pero me pregunto si esto ya implica que $K \cong F(K)$ natural. 2. Caracterizar los esquemas locales como un especial completo reflexivo subcategoría que contiene los espectros de los campos. 3. Intente categorify cohomology de la teoría y el uso de Serre criterio para affineness.

EDICIÓN (Mayo '11): he reiniciado de este proyecto en los últimos días. Si $k$ es un campo con sólo trivial endomorphisms, entonces puedo mostrar que todos los auto-equivalencia de $\text{Sch}/k$ preserva $\text{Spec}(k[\epsilon]/\epsilon^2)$, pero también se $\text{Spec}(k[[t]])$. Pero todavía no tengo idea de cómo acercarse a $\text{Spec}(k[t])$ categóricamente. Incluso nociones tales como "punto de cierre" o "quasicompact" siguen sin estar claros.

EDITAR (Feb '12): Vamos a trabajar con $\mathrm{Sch}/k$ para algunos algebraicamente cerrado campo de $k$. A continuación, $F$ mapas de $\mathbb{A}^1_k$ a un anillo objeto en $\mathrm{Sch}/k$. Si ya sabíamos que es finito tipo más de $k$ e irreducible, entonces el Teorema de Greenberg (Cor. 4.4 Algebraica de los Anillos, Trans. AMS, Vol. 111, Nº 3, pp 472 - 481) implica que el esquema subyacente es sólo $\mathbb{A}^n_k$ para algunos $n$. Ahora uso mi pregunta acerca de la factorización de nosotros debe ser capaz de concluir $n=1$. Por supuesto, muchos faltan detalles aquí; por ejemplo, no está claro por qué $F$ debe preservar los esquemas de finito tipo.

Todas las ideas relativas a la categoría de caracterización de propiedades / objetos son apreciados. Siéntase libre de agregar cada pieza como única respuesta, incluso si no responde a la pregunta completa.

[M] E. Makai jun, Automorfismos y Completa Incrustaciones de Categorías en el Álgebra y la Topología, en línea

Answer 1

Un esquema de $X$ se reduce si y sólo si el natural mapa $$  \coprod_{x\in X}\operatorname{Spec}  \kappa( x )\to X$$ es un epimorphism. Por lo que "reduce" es categórico, y así es $X\mapsto X_{red}$.

[EDITAR para responder a Martin pregunta:

Si $X_{red}\subset X$ es un epimorphism, entonces es un isomorfismo; esto es cierto para cualquier cerrada de inmersión $X_{0}\subset X$, porque cierra las inmersiones se ecualizadores. De hecho, vamos a $I$ ser el ideal de la gavilla, y deje $p:Y\to X$ ser el espectro de la álgebra simétrica $A$ de % de$I$. A continuación, $p$ tiene una sección natural $s$ deducido a partir de la inclusión de $I\subset\mathcal{O}_{x}$, e $X_0$ es el ecualizador de $s$ y el cero de la sección.]

Fuerte especialización (editado después de que Martin de los comentarios):
Dicen que un punto de $x\in X$ es una fuerte especialización en un punto de $y$ si hay morfismos $T\to X$ donde $T$ está conectado a dos puntos del esquema, enviando el punto de cierre $a$ a $x$ y el punto genérico $b$ a $y$ (tenga en cuenta que $T$ es automáticamente local, irreductible y unidimensional).
Esta noción es categórica: para ver esto, sigue siendo para distinguir $b$ de $a$ categóricamente en un esquema de $T$ anterior. Podemos suponer $T$ reducido y, a continuación, sólo hay una monomorphism $Y\to T$ desde un punto de esquema de $Y$ con la imagen de $b$ e infinitamente muchos de ellos con la imagen de $a$. (Prueba: tenemos $T=\mathrm{Spec}\,R$ donde $R$ es un 1-dimensional de dominio local con fracción de campo $K$ y residuos del campo de $k$. En primer lugar, una de morfismos $Y\to T$ con la imagen de $b$ deben factor a través de $\operatorname{Spec}(K)$ (que es abierto), por lo tanto debe ser la inclusión si es un monomorphism. En segundo lugar, tomar algunas $t\neq0$ en el máximo ideal de la $R$: a continuación, el cerrado inmersiones $\operatorname{Spec} (R/t^n)\to\operatorname{Spec}\ (n\geq1)$ son distintos monomorphisms con la imagen de $a$.)

Como Martin señala que todas las especializaciones son fuertes en un local noetherian esquema, pero probablemente no en general.

Answer 2

Esto es solo un comentario que estaba saliendo de las manos, en términos de la longitud:

Toen notas sobre las pilas de caracterizar etaleness (resp. propio), categóricamente, pero la definición no es bonita y supone una muy molesto preguntas de la representabilidad (de los mapas), el tratamiento con similar molesto propiedades de atlas. Lurie también ha proporcionado un topos de la teoría de la descripción de etaleness:

Deje $(X,\mathcal{O}_X)$ e $(Y,\mathcal{O}_Y)$ ser $\mathcal{G}$-estructurada toposes por una geometría $\mathcal{G}$ (si tomamos esta $\mathcal{G}=\mathcal{G}_{Zar}$ a ser el opuesto de la categoría de anillos conmutativos de finito presentación en $\mathbf{Z}$ con admisible morfismos ser mapas inducida por la localización de un solo elemento y la topología en la admisible subcategoría dada por las colecciones de los admisible morfismos $A\to A_i$ (cada determinado por un solo elemento $a_i\in A$) de tal manera que sus elementos asociados generar la unidad ideal de $A$, las $\mathcal{G}$-estructurada topos, un par formado por un topos $X$ y un lex functor $\mathcal{O}:\mathcal{G}\to X$ envío de cubrir los tamices compuesto admisible morfismos en $\mathcal{G}$ conjuntamente eficaz epimorphic familias en $X$, es un local rodeado de topos).

Entonces decimos que la izquierda geométrica de morfismos $f^*:(X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O}_Y)$ (a la izquierda del sentido geométrico que estamos utilizando la convención opuesta por la dirección de morfismos) de G-estructurada toposes (esto significa que no es una transformación natural $\alpha:f^*\mathcal{O}_X\to \mathcal{O}_Y$ tales que el cuadrado connaturalidad diagrama de $\alpha(U)\to \alpha(A)$ en $Y$ inducida por la admisibilidad de una de morfismos $U\to A$ en $\mathcal{G}$ es un cuadrado cartesiano) es etale si las dos siguientes propiedades:

1. La izquierda-geométrica de morfismos $f^*$ es de izquierda local homeomorphism de toposes, o que su derecho adjoint es un local homeomorphism de toposes (algunas personas llaman a esto, confusamente, un etale geométrica de morfismos, o incluso más confusamente, simplemente un etale de morfismos (Lurie hace esto, así que ten cuidado)).
2. El distinguido mapa de $\alpha:f^*\mathcal{O}_X\to \mathcal{O}_Y$ es una equivalencia de $\mathcal{G}$-estructuras en $Y$.

Para el Zariski la geometría de la $\mathcal{G}_{Zar}$ descrito anteriormente, y $f^*:(X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O}_Y)$ la inducida por la izquierda geométrica del mapa entre gros Zariski toposes inducida por un mapa de esquemas $f:y\to x$ a ser etale, es necesariamente un Zariski-abrir la inmersión.

También hay un etale geometría (ahora usted puede ver por qué la elección del término "etale" para el concepto general es lamentable!) para que el etale morfismos (de $\mathcal{G}_{et}$-estructurada toposes) corresponden exactamente a etale morfismos de esquemas (cuando se limita a esquemas).

Esta geometría, $\mathcal{G}_{et}$ se define a tiene que subyace a la categoría de la misma como $\mathcal{G}_{Zar}$, pero el total admisible de morfismos son ahora los morfismos correspondiente a la etale anillo de mapas, y la topología en la admisible subcategoría está dada por la restricción adecuada de la etale topología (en el frente de la categoría, estos son finitos colecciones de etale anillo de mapas que conjuntamente están fielmente plana).

Esto es realmente muy útil, por la siguiente razón: nos permite definir etale morfismos sin necesidad de que el muy engorroso condición de representabilidad de un mapa, y lo que es más importante, resulta que esta condición es "muy local", en el sentido que podemos hablar de él sin tener que arrastrar alrededor de un atlas donde quiera que vaya.

Para la correcta morfismos, creo que podemos contar una historia similar, pero no sé exactamente cómo hacerlo, y yo no tengo tiempo ahora de averiguar.

Answer 3

Esta es una pequeña fracción de una respuesta, pero creo que tengo una manera de distinguir a $\operatorname{Spec} \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ de $\operatorname{Spec} \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ en una manera que es invariante bajo autoequivalences.

En primer lugar, desde autoequivalences preservar la fibra de los productos y co-productos, la conectividad de los esquemas puede ser definido canónicamente por la comprobación de los mapas a un subproducto de la final de los objetos (es decir, $\operatorname{Spec} \mathbb{Z} \coprod \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$). Para cada uno de los prime $p$, el espectro del anillo local $\mathbb{Z}_{(p)}$ es el universal conectado esquema que recibe un mapa de todo el espectro de $\mathbb{F}_p$ y el espectro de $\mathbb{Q}$.

Ahora, vamos a $X$ ser la imagen de $\operatorname{Spec} \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ por debajo de un determinado autoequivalence. Sabemos que $X$ es el espectro de algunos cuadrática extensión de los racionales. Para distinguir $X$ de $\operatorname{Spec} \mathbb{Q}(\sqrt{3})$, es suficiente para mostrar que el prime 3 es inerte. Para ello, comprobamos que no está conectado a un esquema de $Y$ (la imagen del espectro del anillo local de más de 3) que admite mapas de $X$ e $\operatorname{Spec} \mathbb{F}_9$ y un mapa de $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}_{(3)}$, de tal manera que no admite un mapa de $\operatorname{Spec} \mathbb{Q}$, y el mapa de $\operatorname{Spec} \mathbb{F}_9$ no es un factor a través de $\operatorname{Spec} \mathbb{F}_3$. Si $X$ fueron isomorfo a $\operatorname{Spec} \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ tales $Y$ no existiría.

Creo que se puede utilizar métodos similares para distinguir cualquier nonisomorphic número de campos.

Answer 4

A mí me parece que mi respuesta aquí (he publicado como un invitado, por lo tanto la cuenta diferente) también se aplica a esta pregunta: Como Laurent señalado, podemos distinguir nilpotent engrosamientos. Para cualquier esquema de $S$, considera el opuesto de la categoría de abelian cogroup objetos en $\text{Sch}_{S/}$ cuales son nilpotent engrosamientos de $S$ (Esta última condición es automático, pero es un poco de una molestia para probar si no asumimos la counit ser separados). En particular, cada objeto es afín a más de $S$ y el habitual argumento funciona para mostrar que la categoría es equivalente a la categoría de quasicoherent módulos en $S$.

Ahora nos gustaría aplicar el Gabriel-Rosenberg teorema de reconstruir $S$. Sin embargo, el consenso parece ser que el teorema sólo ha sido probado por cuasi-separados de los esquemas. Tal vez no es menos cierto que la categoría de módulo de un no-afín esquema no tiene un compacto proyectiva generador? En cualquier caso, la siguiente es la más elemental forma de proceder:

Podemos distinguir la estructura de la gavilla de $\text{Spec }\mathbb Z$. Por ejemplo, es el único objeto compacto de $\text{Mod }\mathbb Z$ con endomorfismo anillo de $\mathbb Z$. También podemos definir quasicoherent la retirada de los módulos por cartesiano retroceso de esquemas, de manera que podemos distingush la estructura de la gavilla de cualquier esquema. Tomando endomorfismo anillos reconstruye el functor $\Gamma(-,\mathcal O)$, que, como Martin señala en la pregunta, es suficiente para distinguir afín esquemas y demostrar la rigidez de la categoría de esquemas.

Answer 5

Chico, me gusta esta línea de investigación. He estado pensando acerca de problemas similares a mí mismo durante bastante tiempo ahora, pero no me doy cuenta de que tanto trabajo había sido hecho ya. No estoy seguro de lo que estás buscando exactamente, pero creo que categóricas definiciones para abrir y adecuada podría ser encontrados en las Z. Luo inspirador de la página www.geometry.net/cg o en Diferenciarse del libro Caegories de Álgebras Conmutativas sobre la cual Luo trabajo se basa. Tanto dar respuestas a su pregunta en el caso de los afín esquemas. No estoy seguro de si las respuestas traducir al pleno de la categoría de esquemas, que creo que es lo que estás buscando.