¿Un ejemplo de una hermosa prueba que sería accesible a nivel de la escuela secundaria?

Question

El trasfondo de mi pregunta proviene de la observación de que lo que enseñamos en las escuelas no siempre refleja lo que practicamos. La belleza es parte de lo que mueve a los matemáticos, pero rara vez hablamos de la belleza en la enseñanza de las matemáticas escolares.

Estoy tratando de recopilar ejemplos de pruebas buenas y accesibles que se puedan utilizar en la escuela secundaria o en el instituto. Aquí hay dos que he encontrado hasta ahora:

(1) Teorema de Pick: El área, A, de un polígono enrejado, con puntos límite B y puntos interiores I es A = I + B/2 - 1.

En realidad, no me interesa tanto verificar el teorema (que a veces se da como tarea de secundaria) como demostrarlo. Hay algunas buenas pruebas por ahí, como una dada en "Proofs from the Book" que utiliza una aplicación inteligente de la fórmula de Euler. Una prueba muy diferente, pero también inteligente, que Bjorn Poonen tuvo la amabilidad de mostrarme, utiliza un doble recuento de las medidas de los ángulos, alrededor de cada vértice y también alrededor del límite. Ambas pruebas implican matemáticas que no van más allá del nivel de la escuela secundaria, y se sienten como matemáticas reales.

(2) Teorema de Menelao: Si una línea se encuentra con los lados BC, CA y AB de un triángulo en los puntos D, E y F entonces (AE/EC) (CD/DB) (BF/FA) = 1. (lo contrario también es cierto) Ver: http://www.cut-the-knot.org/Generalization/Menelaus.shtml también para el Teorema de Ceva relacionado.

Una vez más, no me interesa la prueba con fines de verificación, sino por una prueba hermosa y esclarecedora. He encontrado una prueba de este tipo de Grunbaum y Shepard en la revista Mathematics Magazine. Utilizan lo que llaman el Principio de Área, que compara las áreas de triángulos que comparten la misma base (me gustaría insertar una figura aquí, pero no sé cómo. -- dados los triángulos ABC y DBC y el punto P que se encuentra en la intersección de AD y BC, AP/PD = Área (ABC)/Área(DBC)). Este principio es genial -- con él, puedes eliminar a Menelao, a Ceva y un teorema similar que involucra a los pentágonos. Y no es difícil--creo que un estudiante medio de secundaria podría seguirlo; y un estudiante inteligente podría ser capaz de descubrir este principio por sí mismo.

En fin, agradecería más ejemplos como estos. También me interesaría conocer los juicios de la gente sobre lo que hace que estas pruebas sean bellas (si es que lo son, ¿hay alguna diferencia entre una prueba bella y una inteligente?) pero no sé si ese tipo de discusión es apropiada para este foro.

Editar : Sólo quiero dejar claro que en mi pregunta realmente estoy preguntando por las pruebas que considerarías bonitas, no sólo por las que son ordenadas o accesibles a nivel de instituto. (No es que la distinción sea siempre tan fácil de hacer...)

Answer 1

Ampliando la respuesta de Ralph, existe una prueba similar muy clara para la fórmula de $Q_n:=1^2+2^2+\dots+n^2$ . Escribe los números en un triángulo equilátero de la siguiente manera:

    1
   2 2    
  3 3 3
 4 4 4 4

Ahora, claramente la suma de los números del triángulo es $Q_n$ . Por otro lado, si se superponen tres triángulos de este tipo girados por $120^\circ$ cada uno, entonces la suma de los números en cada posición es igual a $2n+1$ . Por lo tanto, se puede contar dos veces $3Q_n=\frac{n(n+1)}{2}(2n+1)$ . $\square$

(La primera vez que escuché esta prueba fue en boca de János Pataki).

Cómo demostrar formalmente que todas las posiciones suman $2n+1$ ? Inducción fácil ("moverse hacia abajo-izquierda o hacia abajo-derecha desde el número superior no altera la suma, ya que uno de los tres sumandos aumenta y otro disminuye"). Se trata de un análogo discreto del teorema de la geometría euclidiana "dado un punto $P$ en un triángulo equilátero $ABC$ la suma de sus tres distancias a los lados es constante" (prueba: sumar las áreas de $APB,BPC,CPA$ ), que también puede mencionar.

¿Cómo generalizar a la suma de cubos? El mismo truco en un tetraedro. EDIT: hay alguna forma de generalizarlo a dimensiones superiores, pero desgraciadamente es más complicado que esto. Ver los comentarios más abajo.

Si quiere contarles algo sobre "qué es la cuarta dimensión (para un matemático)", éste es un excelente comienzo.

Answer 2

El teorema de " amigos y desconocidos ": el Número de Ramsey $R(3,3)=6$ . La prueba no sólo puede ser entendida por los estudiantes de secundaria, sino que puede ser descubierta por los estudiantes de ese nivel mediante algo parecido al método socrático. En primer lugar, los alumnos pueden establecer el límite $R(3,3) > 5$ coloreando con 2 colores las aristas de $K_5$ :
          
Entonces pueden razonar que una 2-coloración de las aristas de $K_6$ debe contener un triángulo monocromático, y así $R(3,3)=6$ En cada grupo de seis, tres deben ser amigos o tres deben ser desconocidos.

Después de este ejercicio, una demostración inductiva de la versión de 2 colores del teorema de Ramsey está al alcance.

Una ventaja añadida es que se llega rápidamente a las fronteras de las matemáticas: $R(5,5)$ ¡es desconocido! Puede ser una revelación para los estudiantes que haya es una frontera de las matemáticas. Y entonces se puede contar la historia de Erdos sobre $R(6,6)$ como se relata aquí . :-)

Answer 3

Euler's Puentes de Konigsberg problema. Puedes dárselo a los estudiantes durante cinco minutos para que jueguen con él, ver cómo se enfadan, y luego ofrecerles la clásica, sencilla y hermosa prueba de imposibilidad. Creo que muchos estudiantes de secundaria, e incluso estudiantes brillantes de secundaria, quedarían totalmente convencidos.

Answer 4

La prueba, mediante el recuento de las inversiones, de que no se puede intercambiar el 14 y el 15 en el rompecabezas del 15, simplemente deslizándose, es accesible para los estudiantes de secundaria, introduce ideas importantes y puede resultar hermosa.

Answer 5

El nudo trébol no es trivial.

Prueba: Tiene una tricoloración:

(fuente)

Y la existencia de una tricoloración es preservada por los movimientos de Reidermeister. QED