La teoría de la representación de finito semigroups es una interesante mezcla de grupo de teoría de la representación y la teoría de la representación de finito dimensionales álgebras. El tema es tanto la edad, de volver a la A. H. Clifford (de Clifford teoría en grupo de teoría de la representación), y al mismo tiempo está en su infancia.
La razón por la que semigroup teoría de la representación no está tan bien estudiado, en mi opinión, radica en sus orígenes. Una descripción de los módulos sencillos para un finito semigroup fue dado por el trabajo de Clifford, Munn y Ponizovsky en los años cuarenta y cincuenta. Se aclaró Rodas y Zalcstein y por Lallement y Petrich en la década de los sesenta. A grandes rasgos las principales teorema establece que todas las representaciones irreducibles de un número finito de semigroup puede ser construido a partir de representaciones irreducibles de los grupos finitos asociado de un modo más explícito. Lamentablemente, esta hermosa obra fue escrita utilizando en gran medida de la teoría de la estructura de finito semigroups, que no es ampliamente conocido, y por lo que la literatura es prácticamente inaccesibles para los no especialistas. El enfoque utilizado aquí prefigura el desarrollo de estratificado y quasihereditary álgebras por Cline, Parshall y Scott. De hecho, en 1972, Nico calcula un límite en la dimensión global de la algebra de un número finito de von Neumann regula semigroup por la búsqueda de una secuencia de la herencia de los ideales y el descubrimiento de que el obligado se da en la dimensión global de años antes de que la noción de herencia ideal fue inventado.
La tabla de caracteres de un número finito de semigroup se investigó en los años sesenta y setenta, y han demostrado ser invertible (aunque no es ortogonal, como en el caso del grupo). Un método para escribir una función de clase como una combinación lineal de irreductible de los personajes fue dado que reúne la situación de grupo con Möbius inversión en el posets.
El progreso en finitos semigroup teoría de la representación, a continuación, más o menos estancado durante un número de años. Creo que esto fue por dos razones principales.
- Hubo una falta de aplicaciones.
- Semigroup álgebras son casi nunca semisimple y la moderna teoría de la representación de aljabas, etc. sólo fueron inventados en la década de los setenta. Por entonces finito semigroup teóricos estaban interesados en otros problemas, y que la mayoría eran conscientes de la evolución de la teoría de la representación de finito dimensionales álgebras.
En la década de los ochenta y principios de los noventa, hubo alguna nueva investigación de la teoría de la representación de finito semigroups, debido, principalmente, a Putcha, Okninski, Renner y sus colaboradores. En particular, las conexiones con el carcaj y quasihereditary álgebras y otros aspectos de la moderna teoría de la representación se hicieron.
La última década ha visto un renacimiento en el tema de semigroup teoría de la representación, espoleado por probabilists y algebraicas combinatorialists. Bidigare, Hanlon, Rockmore, Diaconis y Marrón, para nombrar algunos, han demostrado que un número de caminos aleatorios son mucho más fácil de usar semigroup representación de utilizar el grupo de teoría de la representación. Por ejemplo, es casi trivial para calcular los autovalores de la baraja barajar y la parte superior-a-aleatoria shuffle utilizando semigroup teoría. Es más difícil el uso de la teoría de representaciones del grupo simétrico. Por otra parte, la diagonalizabilty de estos paseos no es explicada por la teoría de grupo, pero esto se explica por semigroup teoría.
También Bidigare la observación de que Salomón descenso del álgebra asociada a un determinado grupo de Coxeter es una subalgebra de un hyperplane cara semigroup álgebra ha sido importante para la gente en la combinatoria algebraica. También hay aplicaciones de semigroup la teoría a la teoría de autómatas, en particular, en relación a la notoria Cerny conjetura sobre la sincronización de autómatas.
En el último año, una media docena de artículos en semigroup teoría de la representación han aparecido en el ArXiv, muchos por nonsemigroup teóricos. Espero que la tendencia va a continuar. Ahora sabemos cómo calcular el carcaj de una gran clase de finito semigroups, describir en semigroup teórico términos proyectivos indecomposable módulos y para algunas clases de técnicas de computación en la dimensión global. Semigroups básicos de álgebra de operadores en un determinado campo se han descrito.
Lo que se necesita es un libro que cubre todo esto para el público en general!
Edit. Nuestro nuevo papel da una estrecha relación entre la monoid teoría de la representación, poset de la topología y de Leray números de simplicial complejos con la clasificación de los espacios de categorías pequeñas tirado. Si navegando por este papel no convencerlo de que monoid teoría de la representación tiene algo, entonces no sé qué lo hará.
Edit. (2/18/14) Ya que esta pregunta sólo he topado, permítanme añadir el nuevo papel http://arxiv.org/abs/1401.4250 lo que da una introducción general a las cadenas de Markov y semigroup teoría de la representación y nuevos ejemplos.
Editar(4/1/15). Desde esta pregunta sólo he topado de nuevo, permítanme añadir que estoy en el proceso de escribir un libro sobre la teoría de la representación de monoids. En un sentido comencé a escribir este libro porque de esta pregunta (que fue el primer MO pregunta he contestado). Esperemos que el libro va a ser una respuesta a esta pregunta. Voy a hacer un enlace disponible dentro de poco a partir de mi página del blog.
