¿Existen pruebas de que usted siente que no "entendió" durante mucho tiempo?

Question

Tal vez las "pruebas" de la conjetura ABC o la versión débil de la conjetura de los primos gemelos, o algo parecido, le vengan a la mente. Estas no son las pruebas que estoy buscando. De hecho, mi pregunta se inspiró en otros mensajes que buscaban una pista para entender una prueba más o menos bien establecida, o algunas respuestas a esos mensajes. Me interesan las pruebas de nivel universitario. Dado que la pregunta, tal y como se plantea en el título, sería demasiado personal, sugiero una versión más larga y espero que más positiva:

¿Hay alguna prueba de que cree que no entendió del todo hasta años después?

La razón por la que me interesa esta pregunta es que actualmente estamos trabajando en un marco de evaluación para valorar la comprensión de las pruebas por parte de los estudiantes. Leyendo algunos posts anteriores sobre MO, se me ocurrió que tal vez somos demasiado ingenuos en nuestro enfoque que sólo busca la comprensión de la estructura lógica, el punto clave y así sucesivamente. Sería muy informativo si tuviera la amabilidad de incluir en su respuesta el seguimiento de la prueba que menciona.

Answer 1

Cuando era estudiante, aprendí los teoremas de Sylow en mis clases de álgebra, pero nunca pude retener en la memoria ni el enunciado ni la demostración de estos teoremas, salvo durante breves períodos de tiempo (y, en particular, durante un examen de álgebra). Creo que el problema fue que me expusieron a estos teoremas mucho antes de que hubiera interiorizado el concepto de acción de grupo. Pero una vez que uno tiene la mentalidad para acercarse a un objeto matemático $X$ a través de las diversas acciones naturales de grupo sobre ese objeto, y luego observar las diversas características dinámicas de esa acción (órbitas, estabilizadores, cocientes, etc.) entonces todos los teoremas de Sylow (y el teorema de Cauchy, el teorema de Lagrange, etc. ) se reducen a observar alguna acción natural sobre algún espacio natural (por ejemplo, la acción de conjugación sobre el grupo, o sobre tuplas de elementos de ese grupo) y a contar órbitas y estabilizadores (p-adicamente, en el caso de los teoremas de Sylow). (El libro de Isaac sobre teoría de grupos finitos destaca muy bien esta perspectiva, por cierto).

Answer 2

Odio parecer tonto, pero todavía no entiendo el teorema de Pitágoras tan bien como quisiera. He visto muchas pruebas, pero todas me parecen demasiado ingeniosas. Para mí, entender un teorema o su demostración significa ser capaz de ver por qué es cierto sin tener que trabajar en los detalles de la demostración.

Answer 3

La primera demostración del teorema de Tychonoff que aprendí, del teorema de la subbase de Alexander, fue completamente misteriosa para mí. No lo entendí en absoluto. En particular, no entendía realmente cuál era el papel preciso del axioma de elección.

Más tarde me enteré de que hay una prueba mucho más intuitiva utilizando ultrafiltros o, de forma equivalente, redes. Esta prueba también deja claro el papel del axioma de elección. Se quiere captar la siguiente intuición: si $X_i$ es una colección de espacios compactos y $a : \mathbb{N} \to \prod X_i$ es una secuencia, entonces debería bastar con elegir un punto límite en cada una de las proyecciones de $a$ a una secuencia en cada $X_i$ para demostrar que $a$ tiene un punto límite. Desgraciadamente, la convergencia secuencial no capta la topología de los espacios en general, pero la convergencia neta y la convergencia ultrafiltro sí lo hacen, y la prueba anterior funciona más o menos al pie de la letra con la sustitución de "secuencia" por "red" o "ultrafiltro".

El axioma de elección entra dos veces: primero entra una versión débil al establecer la teoría básica de redes o ultrafiltros (se necesita el lema del ultrafiltro de cualquier manera, creo), y segundo entra la versión completa al escoger un punto límite en cada $X_i$ .

Esta demostración también muestra que si sólo se quiere demostrar que un producto de espacios Hausdorff compactos es Hausdorff compacto (a menudo suficiente para las aplicaciones), sólo se necesita el lema del ultrafiltro: el segundo uso de la elección no entra en escena porque los puntos límite de los ultrafiltros son únicos si el $X_i$ ¡son Hausdorff! (Supongo que una afirmación similar es cierta para las redes, pero no estoy seguro).

Answer 4

Porque la potencia es igual a V^2/R por lo que se calcula la media de las tensiones al cuadrado a lo largo de la onda sinusoidal para obtener V^2avg. Para simplificar tomamos la media de esta media y luego podemos tratarla como queramos.

Answer 5

Me llevó mucho tiempo entender el Teorema de la Recursión. La demostración es ridículamente sencilla: una observación clara sobre la computabilidad (hay un total computable $f$ de manera que si $\Phi_e(e)\downarrow$ entonces $\Phi_{f(e)}\cong\Phi_{\Phi_e(e)}$ ), seguido de una línea de misterioso empuje de símbolos. Sólo cobró sentido para mí cuando me dijeron que pensara en ello como un argumento diagonal que fallaba (que fue también la forma en que se descubrió, si no recuerdo mal).

En realidad, esa explicación cambió mi forma de pensar sobre las matemáticas: me hizo ver el valor del principio heurístico de que si un argumento informal no funciona realmente, entonces tiene que haber algún cosa - que será matemáticamente interesante - que lo está bloqueando activamente. No siempre es cierto, pero muy a menudo es útil para entender por qué las matemáticas son como son (al menos para mí).