Deje $p_n$ ser $n$-ésimo número primo, como de costumbre: $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $p_3 = 5$, $p_4 = 7$, etc.
Para $k=1,2,3,\ldots$, definir $$ g_k = \liminf_{n \rightarrow \infty} (p_{n+k} - p_n). $$ Así, el primer gemelo conjetura afirma $g_1 = 2$.
Zhang del teorema (= débil twin primer conjetura) afirma $g_1 < \infty$.
El primer $m$-tupla conjetura afirma $g_2 = 6$ (infinitamente muchos primeros trillizos), $g_3 = 8$ (infinitamente muchos primeros cuatrillizos), "etcétera" (con $m=k+1$).
Puede Zhang del método de adaptar o ampliar para demostrar $g_k < \infty$ para cualquier (todos) $k>1$?
Agregó un día más tarde: Gracias por todos los comentarios informativos y respuestas! Para resumir y actualizar (espero que atribuir correctamente):
0) [Eric Naslund] La cuestión ya fue planteada en el Goldston-Pintz-Yildirim de papel. Véase la Pregunta 3 en la página 3:
Suponiendo que el Elliott-Halberstam conjetura, puede probarse que hay tres o más números primos admisible en $k$-tuplas con lo suficientemente grande como $k$? Incluso bajo las más fuertes supuestos, nuestro método no puede probar nada más que dos primos en una tupla.
1) [varios encuestados] Tal como están las cosas ahora, no parece que Zhang de la técnica o de cualquier otro método conocido puede demostrar la finitud de $g_k$ para $k > 1$. La principal novedad de Zhang de la prueba es un hábilmente debilitado estimación una la de Elliott-Halberstam, que es bien corto de "el más fuerte supuestos" mencionado por el G-P-Y.
2) [GH] Para $k>1$, el estado de la técnica sigue siendo por ahora como lo era pre-Zhang, dando trivial límites no en $g_k$, pero en $$ \Delta_k := \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{p_{n+k} - p_n}{\log n}. $$ El Teorema de los números Primos (o incluso Čebyšev de la técnica) trivialmente rendimientos $\Delta_k \leq k$ para todos los $k$; nada menos que eso es trivial. Bombieri y Davenport obtenido $\Delta_k \leq k - \frac12$; el registro actual es $\Delta_k \leq e^{-\gamma} (k^{1/2}-1)^2$. Esto es positivo para $k>1$ (aunque muy pequeño para $k=2$ e $k=3$, en torno $0.1$ e $0.3$), y para $k \rightarrow \infty$ es asintótica $e^{-\gamma} k$ con $e^{-\gamma} \approx 0.56146$.
3) [Nick Gill, David Roberts] Algunos otros enlaces de interés:
Terry Tao del 3 de junio de exposición de Zhang resultado y el trabajo que llevan a ello;
El "Secreto de los Blogs Seminario" la entrada y el hilo que ya ha trajo el obligado en $g_1$ de Zhang original de $7 \cdot 10^7$ por debajo de $5 \cdot 10^6$;
Un Erudito de la página que el seguimiento de estas mejoras con los enlaces a las argumentos originales, apoyando código de computadora, etc.;
Un Erudito de la propuesta que incluye el sub-proyecto de la consecución de tales mejoras.
4) [Johan Andersson] Una advertencia: frases tales como "gran primer tuplas en una determinada [longitud] intervalo" (desde el Erudito propuesta) no se refieren a las configuraciones que podemos probar que surgen en los números primos, pero para admisible configuraciones, es decir, los patrones de números enteros que podrían todos ser el primer (y deben todos ser el primer infinitamente a menudo, de acuerdo a la generalizada prime $m$-tupla [un.k.una. débil de Hardy-Littlewood] conjetura, lo que no parece estar cerca de probar todavía). A pesar de las apariencias, tales expresiones no oso en una prueba de $g_k < \infty$ para $k>1$, al menos no todavía.
