Recopilación de sinopsis de pruebas

Question

Odio seguir con las grandes listas, pero la pregunta sobre los resúmenes de temas/áreas en una sola frase ha dado pie a esta pregunta... ¡y no puedo evitarlo!

Definición (Fraleigh): A sinopsis de la prueba es una sinopsis de una o dos frases de una prueba, que explica la idea de la prueba sin todos los detalles y cálculos.

Mi pregunta es la siguiente:

¿Cuál es su sinopsis de demostración favorita de un teorema que todos deberíamos conocer?

(Lo siento, cumpliré mi condena en el infierno de las grandes listas...)

Answer 1

Teorema del valor medio: Inclina la cabeza y aplica el Teorema de Rolle.

Answer 2

No es un gran teorema, pero el hecho de que los polinomios característicos de $AB$ et $BA$ coinciden ( $A,B$ algunos $n \times n$ matrices, digamos complejas).

Es cierto si $A$ es invertible ya que entonces $AB = A(BA)A^{-1}$ y matrices similares tienen el mismo polinomio característico. Por la densidad de $GL(n,\mathbb{C})$ en $Mat_n (\mathbb{C})$ el resultado es general.

Answer 3

Teorema central del límite: Toma la transformada de Fourier de tu distribución y expándela con el teorema de Taylor.

Answer 4

Me sorprende que éste no se haya producido ya : Prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré mediante el flujo de Ricci de Hamilton .

Dotar a un tres-manifold con cualquier Riemannian de Riemann. Dejemos que la métrica evolucione bajo el flujo de Ricci. Cuando se produzcan singularidades cuando se produzcan, recórtalas y pega suavemente un tapón en el agujero, comprobando que la topología no ha cambiado. Al cabo de tiempo, se obtiene una métrica redonda, por lo que el colector es una esfera.

Answer 5

Teorema de existencia de Picard:

Considere $z'(t)=f(t,z)$ . Defina $\mathbf{F}y:=y_0+\int_0^t f(x,y(t))dx$ . Estaría bien que $\mathbf{F}$ tenía un punto fijo, así que use el teorema del punto fijo de Banach para demostrar que tiene un punto fijo. Eso requeriría $f$ para ser una contracción, así que espolvorea una pizca de Lipschitz en $f$ .