¿La aplicación más "no intuitiva" del Axioma de Elección?

Question

Es bien sabido que el axioma de elección es equivalente a la de muchos otros supuestos, como el bien-principio de orden, el teorema de Tychonoff, y el hecho de que todo espacio vectorial tiene una base. Aunque todas estas formulaciones son equivalentes, he oído a muchas personas decir que se 'creen' el axioma de elección, pero no creen que el " principio de buena ordenación.

Por lo tanto, mi pregunta es ¿cuál considera usted que es el más intuitivo de la aplicación de la elección?

Aquí es el tipo de respuesta que tengo en mente.

Un número infinito de personas están a punto de jugar el siguiente. En un momento, que voy a entrar en una habitación y se puso un sombrero diferente. En cada sombrero habrá un número real. Cada jugador será capaz de ver los números reales en todos los sombreros, (excepto su propia). Después de que todos los sombreros se colocan en, los jugadores tienen que simultáneamente gritar ¿qué número real que piensan es en su propio sombrero. Los jugadores ganan si sólo un número finito de ellos adivina incorrectamente. De lo contrario, todos ellos son ejecutados. Ellos no están autorizados para comunicarse una vez que entran a la habitación, pero de antemano se les permite hablar y llegar a una estrategia (con infinidad de recursos).

El muy intuitivo hecho es que los jugadores tienen una estrategia en la cual pueden siempre ganar. De hecho, es difícil encontrar una estrategia en la que al menos un jugador está garantizado para responder correctamente, vamos a hablar de una co-conjunto finito. Sugerencia: la solución utiliza el axioma de elección.

Answer 1

Recomiendo leer este artículo de Chris Hardin y Al Taylor, A Peculiar Connection Between the Axiom of Choice and Predicting the Future , así como esta pieza más corta de Mike O'Connor Set Theory and Weather Prediction .

Answer 2

El hecho de que existen no medible de conjuntos es altamente contra-intuitivo; la razón por la que no lo encuentran es que todos hemos sido condicionados desde el día 1 para hacer teoría de la medida muy cuidadosamente, y definir los conjuntos de Borel medibles, conjuntos, etc, por lo que todos sabemos que no se pueden medir conjuntos existen porque ¿cuál sería el punto de hacer de todo con tanto cuidado lo contrario. En el colegio nos enseñaban que la probabilidad de que ocurra un evento era "hacer un millón de veces, contar con qué frecuencia sucedió, dividir por un millón, y ahora vamos a un millón tienden a infinito". Y nadie pensó para preguntar "¿y si este proceso no tiende a un límite?". Yo apuesto a que si alguien le preguntaba a su maestro les decía "bueno, es siempre tiende a un límite, que es intuitivamente claro". Pero estoy en lo cierto al pensar lo siguiente: si tomamos un subconjunto $X$ de [0,1] con interior de medida de 0 y exterior de la medida 1, y nos sigue eligiendo al azar reales de manera uniforme en [0,1] y preguntando si la tierra en $X$, y mantener un cuidado de la tabla del resultado, el número de veces que la tierra en $X$ dividido por el número de veces que hemos intentado sólo oscila entre 0 y 1, sin convergencia? Que es fundamentalmente contrario a la intuición y, en cierto sentido, va totalmente en contra de la informal (no riguroso) de formación que todos tenemos en la probabilidad en la escuela secundaria. [si tengo derecho!]

Answer 3

Tal vez este no es el tipo de aplicación que tiene en mente, pero un buen orden de los reales me parece muy intuitivo. Yo diría que el buen orden de$\mathbb{R}$ es la esencia de muchos de los otros resultados contraintuitivos que se han mencionado.

Answer 4

No puede ser de gráficos en la que todos los ciclos tienen longitud y cuya cromática número es mayor que dos. De hecho, vamos a $G$ ser la gráfica cuyos vértices son los números reales, con $x$ e $y$ adyacentes si $|x-y|=\sqrt{2}+r$ donde $r$ es racional. A continuación, $G$ sólo tiene incluso la longitud de los ciclos. Suponiendo que cada subconjunto de $\mathbb{R}$ es medible (lo cual es consistente con ZF), entonces la cromática número de $G$ es incontables. Este es un resultado de Sela y Soifer. Si suponemos que el Axioma de Elección, entonces la cromática número de $G$ es de dos.

Answer 5

El Axioma de Determinación (AD) falla.

Lo que significa: la Partición del conjunto ^ωω en dos conjuntos S y T, y creo que de esta partición como un juego (S, T) con dos jugadores. Para jugar, el jugador 1 elige un número natural un₀, entonces el jugador 2 selecciones b₀ (como una función de un₀), entonces el jugador 1 recoge un₁ (como una función de b,₀), entonces el jugador 2 selecciones b₁ (como una función de un₀ y un₁), y así sucesivamente hasta que un_n y b_n son seleccionados para todo n ∈ ω. A continuación, la secuencia de un₀, b₀, un₁, b₁, ... es en S (en cuyo caso el jugador 1 gana), o en T (en cuyo caso el jugador 2 gana).

El juego (S, T) se determina si el jugador 1 o el jugador 2 tiene una estrategia ganadora, es decir, si existen funciones f_n: ⁿω → ω donde la elección de un_n = f_n( b,₀, ..., b_n-1 ) garantiza el jugador 1 victoria, o de manera similar para el jugador 2. (Que no puede tener ambas cosas.) AD es simplemente la afirmación de que cada juego es determinado, lo cual es falso en ZFC. Como con la mayoría de los raros ejemplos, el indeterminado juego está construido con un buen orden de R.

Lo que hace esto tan intuitivo para mí es que tanto la AC y AD son generalizaciones de las declaraciones que se ve fácilmente para finito de objetos. (Cualquier juego finito, o incluso cualquier juego con profundidad finita, se determina, por un fácil de inducción en la profundidad.)

Aparentemente, existen muchos teóricos que de acuerdo con esta evaluación, ya que tratan de rescatar a AD como relativizada a L(R). Que la consistencia relativa de la fuerza de esta declaración es equivalente al de las grandes cardenales se considera una buena evidencia de que los grandes cardenales son, de hecho, coherente. Más precisamente, ZF + AD es consistente iff ZFC + "hay infinitamente muchos Woodin cardenales" es consistente, y AD^L(R) es francamente demostrable en ZFC + "existe un cardinal medible, que es mayor que un número infinito de Woodin cardenales".