¿La física necesita funciones suaves no analíticas?

Question

Observando el comportamiento de un par de físicos "en la naturaleza", tuve la impresión de que entre las herramientas matemáticas que utilizan una gran cantidad (junto con posiblemente mucho más sofisticadas matemáticas, por supuesto), no hay duda de expansión de Taylor. Tienen una cantidad (función) que necesitan para aproximado: de expansión en series de Taylor, mantener el orden de aproximación, que es útil para sus propósitos, y descartar los términos irrelevantes.

Appearently, hay poca preocupación por justificar matemáticamente este procedimiento, incluso si el a-ser-aproximar la cantidad no es dada por una forma explícita cual es claramente conocido por ser analítica. Como la Física claramente no obtiene los problemas de la anterior matemático sutilezas, esto sólo puede significar que la distinción entre analítico y las funciones lisas, de alguna forma es irrelevante para las ecuaciones básicas de la física, o más bien a las aproximaciones de las soluciones que son empíricamente comprobables.

Si no-analítica de las funciones lisas son irrelevantes a la Física, ¿por qué es así?

Hay ecuaciones de la física de importancia en la que no analítica suave soluciones realmente son importantes y no se pueden considerar "como si fueran analítica" para la aproximación a los efectos?

Comentario: análogo preguntas que puedan surgir acerca de la serie de Fourier de las expansiones.

Una posible manera en la práctica no se podría ser:

1. Considere la posibilidad de una (diferencial o de otra manera) de la ecuación de $P(f)=0$ generalmente con analítica de los coeficientes.
2. Ampliar los coeficientes en serie de Taylor alrededor de un punto en la escala de física de interés.
3. Descartar los términos de orden superior de la obtención de un aproximado de ecuaciones con coeficientes polinomiales $\tilde{P}(f)=0$.
4. Hacer el ansatz de que las soluciones $f$ de interés debe ser analítico.
5. Encontrar los coeficientes de $f$ a mano o por otros medios.

Esto deja abierta la pregunta de por qué el ansatz es matemáticamente justificada, si la ecuación de interés se $P$ no $\tilde{P}$. Hacer analítica de soluciones de $\tilde{P}$ acertadamente aproximado de soluciones de $P$? Edit: ahora entiendo que estas dos últimas líneas no son muy bien formulada. Tal vez, ignorando el $\tilde{P}$ cosa, yo debería haber preguntado algo como:

Dado cualquier $\epsilon>0$, lo hace a sabiendas de la analítica de soluciones (es decir, conocer sus coeficientes, posiblemente hasta un arbitrariamente grande, pero finito número de dígitos) de $P$ dar toda la información acerca de todas las soluciones de $P$ a a $\epsilon$-aproximación? Existen físicamente bien conocido clases de ecuaciones $P$ en que esto no puede suceder (tal vez incluso hasta tomar muy regular aproximaciones de los coeficientes y parámetros de $P$ sí)?

Answer 1

Como físico "en la naturaleza" tal vez me puede dar un par de ejemplos que ilustran cómo no-funciones analíticas puede aparecer en la física y contra la idea de que los físicos no se preocupe acerca de la justificación de estos procedimientos.

En el ejemplo 1 se trata de uno de los más precisos comparaciones entre el experimento y la teoría conocida a la física, a saber, el factor g del electrón. La cantidad de g es un factor de proporcionalidad entre el spin de los electrones y su momento magnético. Teoría de la perturbación en QED da una fórmula $$g-2= c_1 \alpha + c_2 \alpha^2 + c_3 \alpha^3 + \cdots $$ donde los coeficientes $c_i$ puede ser calculada a partir de la i-loop diagramas de Feynmann y $\alpha=e^2/\hbar c \simeq 1/137$ es la constante de estructura fina. La inclusión de hasta cuatro diagramas de lazos da una expresión para $g$ que está de acuerdo con una parte en $10^{8}$ con el experimento. Sin embargo, es conocido que este perturbativa de la serie tiene cero radio de convergencia. Esto es cierto bastante general en la teoría cuántica de campos. Los físicos no ignore esto, sino que lo consideran como evidencia de que el QFT no se definen por su serie de perturbación, sino que debe incluir también a los no-perturbativa de efectos, generalmente de la forma $e^{-c/g^2}$ con $g$ una dimensión constante de acoplamiento. Mucho esfuerzo se ha ido en la comprensión de estos no-perturbativa de efectos en una variedad de las teorías cuánticas del campo. Instanton efectos de la no-Abelian teoría de gauge son un importante ejemplo de la no-perturbativa de los fenómenos.

Ejemplo 2 implica que el átomo de Hidrógeno en un campo eléctrico de magnitud $E$, también conocido como el efecto Stark. Uno puede calcular el cambio en la energía autovalores del átomo de Hidrógeno de Hamilton por la aplicación eléctrica como un campo de poder de la serie en $E$ utilizando la teoría de la perturbación y de nuevo uno encuentra un excelente acuerdo con el experimento. También se puede demostrar que esta serie tiene cero radio de convergencia. De hecho, el Hamiltoniano no está delimitado desde abajo y no tiene ningún normalizable energía autoestados. La física de esta situación explica lo que está pasando. El electrón puede túnel a través de la barrera de potencial y escapar de ser enlazado con el núcleo del átomo de Hidrógeno, pero para un tamaño razonable de campos eléctricos de la vida útil de estos estados supera la edad del universo. La teoría de la perturbación no converge porque no hay energía autoestados a converger, pero aún así ofrece una excelente aproximación a la energía autoestados medido experimentalmente debido a que los experimentos se realiza en una escala de tiempo que es muy corto en comparación con el tiempo de vida del estado metaestable.

Así que yo diría que al menos en estos ejemplos hay una muy buena interacción entre la física y la la matemáticas. La falta de analiticidad tiene una clara interpretación física y esto es algo que se entiende por los físicos. Por supuesto, estoy seguro de que hay otro ejemplo donde tales aproximaciones están hechas sin una clara justificación física, pero esto sólo significa que uno debe de entender que el la física mejor.

Answer 2

Supongamos que $P$ es un diferencial parcial operador con coeficientes constantes. Una vieja resultado de Petrowski muestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. Todas las soluciones clásicas $u$ de la ecuación diferencial $Pu=g$ son reales analítica si $g$ es real analítica.
2. El operador $P$ es de forma elíptica.

Si un físico está interesado en un bien planteado ecuación de evolución, entonces, de acuerdo a J. Hadamard, que la ecuación diferencial no puede ser elíptica. Por lo tanto, por el resultado anterior de Petrowski debe permitir no de soluciones analíticas para la analítica de datos. Si además, el operador $P$ es hypoelliptic (por ejemplo, $P$ es el operador $\partial_t -\Delta$), entonces cualquier solución de $u$ de % de $Pu=g$ es suave una vez $g$ es suave.

Para concluir, sí, los físicos necesitan considerar suave, nonanalytic funciones.

Anexo: J. Hadamard en su clásico Conferencias sobre el problema de Cauchy en el lineal de ecuaciones diferenciales parciales se analiza el papel de lisa nonanalytic funciones. Voy a dejar que el gran maestro que hable por sí mismo.

"Muchas veces me he mantenido, contra los diferentes geómetras, la importancia de esta distinción. Algunos de ellos, de hecho, dijo que no se puede considerar siempre cualquier función analítica [...] como se puede aproximar con precisión arbitraria por analítica queridos. Pero, en mi opinión, esta objeción no sería aplicable, la pregunta no es si tal aproximación podría alterar los datos, muy poco, pero si se altera la solución de muy poco".

En este párrafo se alude a la bien posedness del valor inicial del problema. Luego procede a mostrar que el problema de valor inicial para el operador de Laplace $\partial_t^2+\partial_x^2$ está mal planteada.

Answer 3

Vale la pena señalar que es imposible resolver el problema de valor inicial para el estándar de la ecuación del calor en el real de la analítica de la categoría. Aquí, hay expansiones asintóticas disponible pero no en series de Taylor.

AÑADIDO: se debe señalar también que la direccionalidad del tiempo, como se muestra en el calor y los procesos de difusión, es un fenómeno de la vida fuera de el real de la analítica de la categoría. Yo creo que cualquier PDE en el real de la analítica de la categoría que está bien planteado como un problema de valor inicial se puede resolver en positivo y a la vez las direcciones. Eso no es cierto para la ecuación del calor en el buen categoría. Por ello la necesidad de ir fuera de la real de la analítica de la categoría aparece ya en los fundamentales de la física clásica.

Esto se puede evitar, supongo, trabajando exclusivamente con modelos discretos, pero que para algunos de nosotros es una cura peor que la original "problema".

Answer 4

Un fuerte argumento es dada anteriormente en la ecuación del calor; déjame ser más específico. La ecuación del calor, uno de los más básicos en la PDE y la física matemática, ya se sabe que la transformada de Fourier, es $$ L=\frac{\partial }{\partial t}-\Delta_x,\quad t\in\mathbb R,\quad x\in\mathbb R^n, $$ tiene la solución fundamental $$E= H(t)(4\pi t)^{-n/2}e^{-\frac{\vert x\vert^2}{4t}}, $$ es decir, $LE=\delta(x)\otimes\delta(t)$ (aquí la función de Heaviside $H$ es el indicatrix de $\mathbb R_+$). Es fácil ver que el $C^\infty$ singular apoyo de $E$ se reduce a $0_{\mathbb R^{1+n}}$, mientras que la analítica singular es el hyperplane $t=0$. Ya que la función $E$ es$C^\infty$, excepto en $x=0,t=0$, uno puede ver que es de hecho un plano de la función en $t=0,x=x_0\not=0$, es decir, todos los derivados se desvanecen en ese punto. Así, es imposible entender una de las más sencillas de la PDE utilizando sólo funciones analíticas.

Una más refinada-sin embargo, clásico, hecho está relacionado con la noción de bien posedness como se define por Jacques Hadamard. A grandes rasgos, un PDE problema bien planteado cuando la solución puede ser controlado por los datos o de las fuentes a través adecuado de las desigualdades. Un ejemplo típico de un bien plantea un problema: el problema de Cauchy con respecto a un spacelike hipersuperficie (por ejemplo,$t=0$) para la ecuación de onda. Un ejemplo típico de un mal planteado el problema: el problema de Cauchy para la ecuación de Laplace. Aunque el último tiene la singularidad de las propiedades, la analítica de las soluciones dadas, por ejemplo, por la de Cauchy-Kovalewski Teorema son extremadamente inestable: usted tiene $$ \partial_x^2 u+\partial_y^2 u=0,\quad u=e^{\lambda(x+iy)}, u(0,y)=e^{i\lambda y}. $$ El Cauchy de datos en $x=0$ están delimitadas por 1, lo que es $\lambda >0$, mientras que la solución aumenta exponencialmente con la $x>0$: ningún control de la $u$ por su Cauchy dato que podría esperarse. Sin embargo, las soluciones analíticas y de determinada únicamente por el dato de Cauchy. El método analítico determinado por la CK teorema proporciona soluciones analíticas que son inestables. La CK teorema de no entregar soluciones estables en ese caso. Sin la comprensión de la estabilidad de los fenómenos (una muy interesante propiedad física) para la PDE es posible dentro de la clase de funciones analíticas y uno debe usar mucho más grandes clases de espacios funcionales en las que las desigualdades de posedness podría ser probado.

Yo podría haber mencionado otro efecto, por ejemplo, para el problema de Cauchy para la ecuación de Laplace: tomar una analítica de Cauchy datum $\phi_0$, entonces CK proporciona una solución analítica. Ahora, perturban $\phi_0$ por una superficie lisa y no analítica de la función$w$, y tomar como dato decir $\phi_0+\epsilon w$. Entonces no hay solución para el problema de Cauchy desde la existencia misma de un (digamos continua) la solución es forzar los datos para ser analítico. No es difícil demostrar que por la transformación de Fourier: la analiticidad será forzada por el hecho de que usted tiene que compensar el aumento exponencial de algunos de decaimiento exponencial de los datos, activación de la analiticidad para este tipo de datos.

Answer 5

Puede ser que para muchos propósitos asymptotics (en un sentido preciso, es necesario, en lugar de fórmulas exactas. El prototipo de esto es el hecho de que un finito expansión de Taylor, con el término de error, correctamente se aproxima a una función uniforme, sea o no la función suave es en realidad analítica, sea o no de la infinita serie de Taylor converge. Una similar, más complicado, asintótica idea fue legitimado por Poincaré, después de que él se dio cuenta de que ciertos serie de expansiones "formalmente" la resolución de problemas de la mecánica celeste fueron divergentes, pero sus finito truncamientos siempre buenas aproximaciones.

Hay otra objeción que se puede tener a la analiticidad, a saber, la "acción a distancia" aspecto implícita por el "principio de identidad", es decir, que suficiente (pero, sí, infinito) información acerca de la función cerca de un único punto perfectamente determina su comportamiento en todas partes. A mí esto me parece más delicado y más dudosa que asymptotics.