Problemas de competencia con conexiones a matemáticas más profundas

Question

Ya he publicado esto en matemáticas.stackexchange, pero también estoy publicando aquí porque creo que se podría obtener más y mejores respuestas aquí! Espero que esto está bien.

Todos sabemos que los problemas de, por ejemplo, la OMI y la de Putnam de la competencia pueden tener a veces una encantadora conexiones a "las partes más profundas de las matemáticas". Me gustaría ver esos problemas aquí que te gusta, y, por que agregar la conexión que tiene.

Algunos ejemplos:

1. Stanislav Smirnov, se menciona la siguiente, desde el 27 de IMO: "A cada uno de los vértices de un pentágono regular de un número entero es asignado de tal forma que la suma de los cinco números es positivo. Si tres vértices consecutivos se asignan los números de $x,y,z$ respectivamente, y $y <0$, a continuación, la siguiente operación es permitido: los números de $x,y,z$ son reemplazados por $x+y$, $-y$, $z+y$, respectivamente. Este tipo de operación se realiza repetidamente siempre que al menos uno de los cinco números es negativo. Determinar si este procedimiento viene necesariamente a una final después de un número finito de pasos".

   Menciona que una versión de este problema es usado para demostrar la Kottwitz-Rapoport conjetura en álgebra(!). Además, una versión de esto ha aparecido en al menos una docena de trabajos de investigación.

2. (Tomado de Gerry Myerson en este hilo https://math.stackexchange.com/questions/33109/contest-problems-with-connections-to-deeper-mathematics)

   En el 1971 Putnam, no era una pregunta, muestran que si $n^c$ es un número entero para$n=2,3,4$,..., a continuación, $c$ es un número entero.

   Si intenta mejorar en esta demostrando que si $2^c$, $3^c$, y $5^c$ son enteros, a continuación, $c$ es un número entero, se encuentra que la prueba depende de una muy profunda resultado se llama Los Seis Exponenciales Teorema.

   Y si intenta mejorar aún más demostrando que si $2^c$ e $3^c$ son enteros, a continuación, $c$ es un número entero, bueno, es lo que generalmente se cree para ser verdad, pero que no se había demostrado en 1971, y creo que aún no demostradas.

La parte más interesante sería ver las soluciones a estos problemas utilizando ambos métodos de primaria, y también con el más abstracto "métodos más profundos".

Answer 1

[Encontrado otro de estos Putnam problemas; parece que el protocolo de aquí es post separado big-lista de ejemplos por separado en lugar de agregarlos a una gran respuesta.]

2002 Problema B-6. Deje $p$ ser un número primo. Demostrar que el determinante de la matriz $$ \left(\begin{array}{lll}x&y&z\cr x^p &y^p&z^p\cr x^{p^2}&y^{p^2}&z^{p^2}\end{array}\right) $$ es congruente modulo $p$ a un producto de polinomios de la forma $ax+by+cz$ donde $a,b,c$ son enteros.

Esto funciona para el análogo $n\times n$ determinante de cada una de las $n$, y también sobre cualquier campo finito $k$ en lugar de sólo el primer campo de $\mathbf{Z} / p \mathbf{Z}$. El caso de $n=2$ es básicamente de Fermat poco teorema; el caso general es de Moore $q$-análogo de la determinante de Vandermonde, utilizado por Dickson para encontrar el sub-anillo de $k[x_1,\ldots,x_n]$ invariantes bajo todas las $k$-transformaciones lineales de las $x_i$: son los polinomios en la $n$ fundamental invariantes de grados $q^n - q^i$ ($i=0,1,2,\ldots,n-1$), con el invariante de grado $q^n-1$ la $q-1$ de la potencia de la Moore determinante. Por otra parte, la sustitución de ese poder con el Moore determinante en sí los rendimientos de los invariantes para $SL_n(k)$ en lugar de $GL_n(k)$. Este siglo-viejo teorema ha encontrado aplicaciones que van desde la topología algebraica para Diophantine y la geometría algebraica.

Referencias:

E. H. Moore: Un doble generalización del teorema de Fermat, Bull. AMS 2 #7 (1896), 189 a 199.

L. E. Dickson: Un sistema fundamental de los invariantes de la general modular lineal grupo con una solución de la forma del problema. Trans. AMS 12 (1911), 75-98

Answer 2

El siguiente problema que me llevó a algunas partes interesantes de las matemáticas.

Putnam 2005 B6: Dada una permutación $\pi \in S_n$, vamos a $\text{fix}(\pi)$ ser el número de puntos fijos de $\pi$ e $\text{sgn}(\pi)$ su signo. Mostrar que

$$\sum_{\pi \in S_n} \frac{\text{sgn}(\pi)}{\text{fix}(\pi) + 1} = (-1)^{n+1} \frac{n}{n+1}.$$

Primero escribo $F_n(x) = \sum_{\pi \in S_n} \text{sgn}(\pi) x^{\text{fix}(\pi)}$; luego el de arriba es, precisamente,$\int_0^1 F_n(x) dx$. Por otro lado, uno puede escribir una periodicidad de $F_n(x)$, lo que conduce, después de un poco de esfuerzo, a la hermosa identidad

$$\sum_{n \ge 0} \frac{F_n(x)}{n!} y^n = (1 + y) e^{xy - y}.$$

Pero la RHS es fácil de integrar. (Hay una solución alternativa que se da cuenta de $F_n(x)$ como un cierto factor determinante que puede adivinar ahora que he dicho la palabra "determinante.")

Algún tiempo después de la resolución de este problema me di cuenta de que la identidad es un caso especial de un bello resultado llama la exponencial de la fórmula que se describe en detalle en esta entrada del blog. La fórmula exponencial, a su vez, además de ser una herramienta importante en la combinatoria en su propio derecho, es la relativa a la combinatoria de las especies y simétrica de las funciones, tanto de la que yo era más capaz de apreciar debido a mi experiencia con el problema anterior.

La exponencial de la fórmula también es una interesante manera de pensar acerca de la relación entre dos definiciones de la función zeta de una variedad de más de un campo finito. Me brevemente discutir esto en estos dos posts del blog.

Answer 3

Este año la reciente Putnam examen de, al menos, un ejemplo más:

Putnam Examen De 2011, Problema B6 Supongamos $p$ es una extraña prime. Demostrar que para $n\in \{0,1,2...p-1\}$, al menos $\frac{p+1}{2}$ de los números de $\sum^{p-1}_{k=0} \phantom. k! \phantom. n^{k}$ no divisble por $p$.

Eric Naslund publicado su solución al final de su Mathoverflow pregunta, solicitando

Podemos mejorar el límite para el número de ceros? También hay una conexión más profunda aquí con otras partes de las matemáticas motivar a este problema?

De hecho, hay más conexiones. En su aceptados respuesta, Felipe Voloch reconocido Eric técnica de 1992 papel de Mit kin [M] que mejora el rumbo más, y se observó una relación con Stepanov del método para limitar el número de soluciones de las ecuaciones sobre campos finitos (es decir, su prueba [S] de los Weil límites para hyperelliptic curvas); Gerry Myerson del comentario añadido la información bibliográfica para el Mit kin papel (ver Referencias más abajo), y se informó de que la mejora de la envolvente se $2p^{2/3} + 2$. Mi primera respuesta a la misma MO cuestión dio una solución alternativa mediante el uso de las propiedades de los polinomios ortogonales de Laguerre, que Kiran Kedlaya simplificado para utilizar sólo los determinantes de dos matrices de Hankel $\det((i+j+n)!)_{i,j=0}^m$ (ver la solución a los publicados en el Putnam Directorio). Más tarde me encontré en una forma más directa de conectar esas matrices con el problema, relacionado con la teoría de Padé approximants; ver mi segunda respuesta, publicado el día de hoy. Ambas versiones de este Hankel-determinante enfoque generalizar a dar el mismo tipo de $(p+O(1))/2$ unido para varios otros polinomios de grado $p-1$, y los límites son nítidas, al menos para algunos Čebyšev polinomios.

Referencias:

[M] Mit kin, D. A.: Una estimación para el número de raíces de algunas comparaciones por el Stepanov método, Mat. Zametki 51 #6 (1992), 52-58, 157; traducción en Matemáticas. Notas 51 #5-6 (1992), 565-570

[S] Stepanov, A.: Primaria prueba de la Hasse-Weil teorema de hyperelliptic curvas, J. Teoría De Los Números 4 (1972), 118-143.

Answer 4

Básicamente, todos los problemas en el Concurso Miklós Schweitzer (Hungría) son de nivel de investigación. El concurso dura 10 días con 10 problemas, y se puede usar cualquier literatura. Todos los estudiantes de secundaria y universitarios pueden ingresar y no hay distinción basada en la edad. Mira aquí

Answer 5

Un par de Putnam problemas vienen a la mente. Aquí uno que se podía encontrar más fácilmente.

1992 problema B-6. Deje $\cal M$ ser un conjunto de real $n \times n$ matrices tales que
i) $I \in \cal M$ (matriz identidad);
ii) Si $A\in \cal M$ e $B \in \cal M$, a continuación, exactamente uno de $AB$ e $-AB$ es de $\cal M$;
iii) Si $A\in \cal M$ e $B\in \cal M$ entonces $AB=BA$ o $AB=-BA$;
iv) Si $A \in \cal M$ e $A \neq I$, entonces hay al menos un $B \in \cal M$ tal que $AB = -BA$.
Demostrar que $\cal M$ contiene en la mayoría de las $n^2$ matrices.

Resulta que la igualdad tiene precisamente al $\cal M$ está construido de la siguiente manera: vamos a $n=2^m$ para algunos entero $m>0$, vamos a $G$ ser el extraspecial grupo $2_+^{1+2m}$ (generalizada diedro grupo), y deje $\rho$ ser el único irreductible representación de $G$ que es trivial en el centro. A continuación, $\rho$ tiene dimensión $n$. Deje $\cal M$ ser la imagen en $\rho$ de cualquier conjunto de representantes de $G$ modulo 2-elemento central que contiene la identidad.

La solución conduce naturalmente a esta construcción, ya que utiliza las ideas de la teoría de la representación (si $\cal M$ fueron mayores de $n^2$, habría una relación lineal, etc.).