¿Cuáles podrían ser algunas bases de datos matemáticas potencialmente útiles?

Question

Esta es una pregunta suave pero no pretende ser una pregunta de lista grande. Recientemente me han preguntado si quiero dar mi opinión en la fase pre-beta de un próximo sitio web que ofrecerá una plataforma para compartir datos, y en lugar de dar sólo mi opinión personal prefiero consultar primero a otros matemáticos. Iba a escribir una entrada en el blog, pero luego pensé que Mathoverflow era un lugar más adecuado, ya que tengo una pregunta y busco respuestas de un tipo determinado en lugar de comentarios generales. El sitio web parece estar dirigido sobre todo a científicos que quieren compartir datos en bruto, así que al principio pensé que probablemente no sería muy útil para los matemáticos, ya que nuestros datos están (o están, si lo prefiere) en su mayoría muy interrelacionados: las conexiones son a menudo más interesantes que lo que conectan.

Pero pensándolo mejor, me parece que un buen sitio de intercambio de datos podría ser un recurso valioso, aunque no haga absolutamente todo lo que cualquier matemático desearía. Por ejemplo, la base de datos de Sloane es fantásticamente útil. Otro tipo de base de datos que también es útil es Complexity Zoo, de Scott Aaronson. Así que ya existen bases de datos útiles. ¿Es éste un aspecto de la vida matemática que podría ampliarse enormemente si se dispusiera de la plataforma adecuada? Y si es así, ¿cómo debería ser esa plataforma?

No sé nada sobre el diseño del sitio, pero si voy a opinar de forma inteligente sobre las características que debería tener para ser útil a los matemáticos, me gustaría contar con algunos ejemplos del tipo de intercambio de datos que podríamos hacer. He aquí algunas ideas que se me ocurren.

1. Ecuaciones diofánticas: se podría tener una lista de lo que se sabe sobre varias diferentes.

2. Problemas matemáticos: enumerados de forma ordenada, cada problema va acompañado de una descripción, con una lista de lecturas, de lo que realmente hay que saber antes de plantearse el problema. (Por ejemplo, si está pensando en el problema P frente a NP, entonces debería conocer el artículo de Razborov/Rudich sobre las pruebas naturales).

3. Ejemplos clave en distintas áreas y subáreas de las matemáticas.

4. A veces tenemos un montón de propiedades matemáticas relacionadas con un complicado patrón de implicaciones entre ellas. En tales circunstancias, estaría bien que esta información se presentara de forma gráfica (algo que creo que este sitio puede hacer bien, ya que parece que les gusta mucho la visualización) con enlaces a pruebas de las implicaciones o contraejemplos que demuestren cuándo las implicaciones no son válidas. (El ejemplo en el que estoy pensando mientras escribo esto son diferentes formas de la propiedad de aproximación para espacios de Banach, pero es de suponer que hay varios más).

5. Lista de funciones especiales y los hechos sobre cada una que son los principales hechos que uno usa para probar cosas sobre ellas.

6. Lista de integrales que se pueden evaluar, con descripciones de cómo se pueden evaluar.

7. Lista de números irracionales importantes con sus expansiones decimales a un gran número de posiciones. (No estoy seguro de por qué esto sería útil, pero puede ser divertido).

Se supone que son ejemplos en los que la gente podría poner en común los conocimientos previos que adquiere mientras investiga. No me satisfacen especialmente: deberían considerarse un reto para idear otros mejores, que casi seguro que existen. Si alguna vez has pensado: "¿No estaría bien que hubiera un sitio donde pudiera buscar X? Creo que las respuestas más interesantes serían las de nivel de investigación (a diferencia de algunas de las sugerencias anteriores).

Si hubiera un sitio con muchas bases de datos, sería un lugar estupendo para navegar: sería mucho más fácil encontrar datos útiles allí que si estuvieran dispersos por todo Internet.

Una restricción a las respuestas: debe haber algo en la base de datos sugerida que la haga inadecuada para Wikipedia, ya que, de lo contrario, ponerla en Wikipedia parecería más sensato.

Answer 1

Sería realmente útil disponer de una base de datos que contuviera diversos cálculos de grupos de (co)homología/homotopía de diversos espacios que surgen en topología algebraica...
Nota: Se sabe tanto que primero habría que pensar muy duro sobre cómo organizarlo todo.

He aquí un ejemplo:
Podría imaginar que, para ciertos usuarios, enumerar los 30 primeros grupos de cohomología integral de los espacios $K(\mathbb Z,1)$ , $K(\mathbb Z,2)$ , $K(\mathbb Z,3)$ y $K(\mathbb Z,4)$ podría ser más útil¹ que enumerar todos los grupos de cohomología de todos el $K(\mathbb Z,n)$ 's. La razón es que, para hacer esto último, la información tiene que estar empaquetada de una determinada manera que puede resultar difícil de entender: el usuario tendría que desempaquetar esa información antes de poder acceder a ella.

¹ Por supuesto, es aún mejor tener ambos información disponible.

Answer 2

Dentro de la categoría "¿No estaría bien que hubiera algún sitio donde pudiera consultar X?

erratas, errores y cálculo ampliado de los trabajos publicados. Por supuesto, esto es más o menos una ilusión, ya que no tengo ni idea de cómo tratar los posibles problemas de corrección, etc...

Answer 3

Hay varios ejemplos naturales de la teoría de conjuntos.

• Aquí tiene una base de datos sobre consecuencias y formulaciones equivalentes del axioma de elección que se puede buscar por palabra clave y forma axiomática, y que contiene cientos de formulaciones de axiomas similares a la elección, al tiempo que proporciona las relaciones de implicación entre ellos y los modelos conocidos que los separan. He tenido ocasión de utilizar esta base de datos en mi investigación, y los datos son útiles. Sin embargo, puedo imaginar fácilmente una interfaz muy mejorada o una forma más visual de presentar los datos, y quizá sea éste el tipo de situación que usted busca.

• Sería útil disponer de una bonita base de datos visual de las conexiones y posibilidades entre todos los diversos características cardinales del continuo . Quizá ya exista algo así...

• En términos más generales, puedo imaginar algún tipo de base de datos que lleve la cuenta de los diversos resultados de independencia sobre ZFC (u otras teorías), especialmente cuando se consideran combinaciones de enunciados, y los modelos que los consiguen.

• Me imagino una base de datos de las relaciones lógicas entre varias grandes nociones cardinales y sus puntos fuertes. El mero hecho de que el gráfico de grandes cardinales del libro de Kanamori El infinito superior se consulte con tanta frecuencia demuestra que sería útil disponer de una versión mucho más amplia y completa de esa información.

Answer 4

Lo que realmente puede ser un problema, sobre todo cuando no se está muy familiarizado con algún área, es cuando uno se interesa por objetos de algún tipo con una propiedad concreta y no sabe que éstos suelen denominarse, por ejemplo, Garfield-Dilbert-FooBars. En términos más generales, a veces uno no conoce el nombre de una definición matemática y ese nombre por sí solo sería de gran ayuda. Por mi parte, me gustaría disponer de una base de datos jerárquica en la que se pudieran encontrar esos nombres. Por ejemplo, buscas "superficie", "completa" y "regular" y (entre otras cosas quizá), te dice qué es una Superficie K3. Debería haber muchos más ejemplos como éste.

Answer 5

La teoría de grupos de Lie y sus representaciones merecen sin duda una base de datos. (Véase por ejemplo el proyecto Atlas y los libros de Olver que son la única referencia para la clasificación de acciones de grupos lisos sobre $\mathbb{R}^n$ para pequeños $n$ que yo sepa).

También hay un proyecto para crear una base de datos en Internet de soluciones a las ecuaciones de Einstein y supongo que a otras EDP importantes también les vendría bien una base de datos.