¿Ejemplos en los que la heurística física condujo a respuestas incorrectas?

Question

Siempre me ha impresionado la cantidad de resultados conjeturados por los físicos, basados en razonamientos no rigurosos desde el punto de vista matemático, y que luego son demostrados (mucho) por los matemáticos. Un ejemplo reciente es el $\sqrt{2+\sqrt{2}}$ constante conectiva de la red de panal, derivada de forma no rigurosa por el físico B. Nienhuis en 1982 y rigurosamente probado este año por S. Smirnov y H. Duminil-Copin.

Me interesaría conocer ejemplos de resultados conjeturados por los físicos y que luego se demostró que eran erróneos por los matemáticos. Además, sería interesante conocer por qué La heurística física puede equivocarse, y hasta qué punto puede hacerlo (por ejemplo, si los físicos simplemente omitieron un supuesto técnico importante o si la conjetura era insalvable).

Answer 1

A continuación describiré una controversia en la mecánica estadística de los años 80: _el caso del dimensión crítica inferior de la Modelo Ising con un campo magnético aleatorio aplicado_ .

Antecedentes

Permítanme que les ponga en antecedentes, aunque tal vez quieran leer La discusión de Terry Tao sobre la mecánica estadística básica en su lugar. El modelo Ising es un modelo mecánico estadístico de "espines" en una red hipercúbica. El funcional de energía es: $E=\sum_{\langle ij\rangle}\frac{1}{2}(1-S_iS_j)-\sum h_iS_i$ donde la primera suma se toma sobre los pares de vecinos más cercanos en la red y la segunda se toma sobre todos los sitios, y $S_i$ es un $\pm1$ variable valorada en cada sitio llamado el giro y $h_i$ es el "campo magnético aplicado externamente" de valor real aplicado a cada sitio. A cada posible configuración de espines en la red se le asigna una probabilidad proporcional a su peso de Boltzmann $e^{-\beta E}$ donde $\beta>0$ es un parámetro que se interpreta físicamente como la temperatura inversa $T$ .

Dado tal modelo, una cuestión es determinar el "comportamiento de fase", o cuáles son las propiedades típicas del conjunto de la configuración en un determinado $\beta$ y cómo cambia esto con $\beta$ .

Considerando por el momento sólo el modelo de Ising con $h_i=0$ se podría esperar que para grandes $\beta$ la configuración típica tenderá a tener una energía más baja y, por lo tanto, tendrá todos sus espines alineados a todos $+1$ o todo $-1$ . En las pequeñas $\beta$ Todos los factores de Boltzmann tienden a 1 y la configuración típica tendrá espines aleatorios. Este argumento aproximado sólo pretende guiar la intuición de que podría haber una transición de fase entre configuraciones "mayoritariamente alineadas" a configuraciones "mayoritariamente aleatorias" en algún valor especial de $\beta$ .

Resulta que lo que ocurre depende en gran medida de la dimensionalidad de la red.

La dimensión crítica inferior $d_L$ de un modelo es la dimensión por debajo de la cual no pueden producirse transiciones de fase porque incluso como $\beta\rightarrow\infty$ No hay suficiente ganancia de energía por el ordenamiento para crear una fase con correlaciones de largo alcance. En el modelo Ising ordinario (con todos los $h_i=0$ ), la dimensión crítica inferior es 1, y por lo tanto en cualquier $\beta$ la media $\langle S_iS_{j}\rangle$ sobre las configuraciones ponderadas con la distribución de Boltzmann se acercará a cero (exponencialmente rápido, incluso) a medida que la distancia entre los sitios $i$ y $j$ se acerca a $\infty$ . Para dos dimensiones y más, se puede demostrar que a partir de una determinada $\beta_c$ (dependiendo de la dimensión) este promedio será finito en ese límite de larga distancia.

Polémica

En la década de 1980 hubo una controversia en la literatura física sobre el valor de $d_L$ para el modelo de Ising de campo aleatorio, un modelo en el que el $h_i$ son variables aleatorias gaussianas independientes con media cero y varianza constante $\epsilon^2$ .

No estoy en condiciones de describir la historia con precisión, pero creo que hubo argumentos físicos de Imry y Ma originalmente que $d_L\leq 2$ que fueron discutidos cuando una sorprendente conexión entre sistemas aleatorios en $d$ dimensiones y sus contrapartes puras en $d-2$ dimensiones, conocido como el " Parisi-Sourlas correspondencia". Lo que yo entiendo de Parisi-Sourlas es que se basa en una supersimetría oculta en alguna representación en serie del modelo que produce una concordancia de orden a orden en las "expansiones épsilon" de los dos sistemas. Su argumento también se hizo riguroso por Klein, Landau y Pérez ( MR ). En base a esto, ya que el modelo de Ising tiene $d_L=1$ La RFIM fue argumentada para tener $d_L=3$ por varios autores, aunque nunca fue una opinión consensuada.

Esta controversia fue resuelta por el trabajo de John Imbrie ( MR ) y el trabajo posterior de Bricmont y Kupianen ( MR ) basándose en sus resultados que demostraron rigurosamente que $d_L\leq2$ en este sistema. Al parecer, términos como $e^{-1/\epsilon}$ se vuelven importantes y la expansión épsilon se rompe en dimensiones bajas, aunque no estoy seguro de que esto se haya precisado, e incluso hoy en día la RFIM está lejos de entenderse completamente.

Answer 2

No considero el ejemplo de abajo como un fracaso, sino como una notable intuición con fuertes consecuencias matemáticas.

Uno de los ejemplos más famosos de construcciones explícitas en la simetría de los espejos se introdujo en el artículo que marcó una época de los físicos Candelas et al. Partiendo de la familia ${\mathbf M}$ de hipersuperficies quínticas en $\mathbb{P}^4(\mathbb{C})$ definido por $\sum_ {k=1}^5x_ k^5-5z \prod_ {k=1}^5x_ k=0$ ( $z$ siendo un parámetro complejo), Candelas et al. asocian naturalmente otra familia $\mathbf{W}$ de de los colectores (el "espejo de ${\mathbf M}$ ") que resultan ser Calabi--Yau. A $\mathbf{W}$ se puede asociar naturalmente un vector de períodos (en función de $z$ ) que son soluciones de la misma ecuación diferencial (a saber, la ecuación de Picard--Fuchs de Picard--Fuchs) que son soluciones de la misma ecuación diferencial (es decir, la ecuación de $\mathbf{W}$ ). Esta ecuación es simplemente una ecuación diferencial hipergeométrica diferencial satisfecha por una función hipergeométrica $F(z)$ y su "vecino" $G(z)+\log(z)F(z)$ . Entonces observaron la propiedad no trivial propiedad de que los coeficientes de Taylor de Taylor de $q(z)=\exp(G(z)/F(z))$ son números enteros. Además, definamos el Acoplamiento Yukawa $$ K(q):= \frac{5}{1-5^5z(q)}\cdot \frac{1}{F(z(q))^2}\cdot \bigg(\frac{qz'(q)}{z(q)}\bigg)^3 \in \mathbb{Q}[[q]], $$ donde $z(q)$ es la composición inversa de $q(z)$ y escribirlo como $$ K(q) = 5+ \sum_ {d=1}^{\infty} c_ d \frac{q^d}{1-q^d}, $$ que es formalmente posible. Candelas et al. observaron que el número de instantones $n_ d=c_ d/d^3$ es un número entero para todo $d\ge 1$ que ya es un hecho no trivial, pero que además $n_ d$ parece ser el número de curvas racionales de grado $d$ en en la quina inicial ${\mathbf M}$ , proporcionando así un algoritmo eficaz para calcular estos números. Estas sorprendentes observaciones generaron mucho interés entre los geómetras algebraicos, y esto culminó en el trabajo matemático posterior (de Givental, Lian y otros) donde se demuestra que si para un determinado $d$ las curvas de grado $d$ son todos rígidos, entonces hay $n_ d$ de ellos. De hecho, se demostró que la coincidencia que es cierta para $d\le 9$ y la primera diferencia se produce en $d=10$ (véase [E. Cotterill, Com. Álgebra 33 (2005) 1833--1872]).

Answer 3

Algo relacionado con la hipótesis ergódica mencionada en otra respuesta es la suposición de que las no linealidades genéricas conducen a la termalización y a la equipartición de la energía. Para ser más precisos, empecemos con un sistema hamiltoniano lineal, completamente integrable y de dimensión finita (digamos un sistema desacoplado de muchos osciladores armónicos). El sistema tiene modos de excitación independientes que, si los datos iniciales se fijan en uno de los modos, la evolución se mantendrá en el modo. La suposición de la física es que al añadir un acoplamiento no lineal, esto permitiría que los modos interactuaran y, a la larga, el sistema se asentará en un estado termalizado en el que cada modo contribuye con la misma cantidad a la energía total.

Por supuesto, ahora se sabe que esto es falso, en vista del teorema KAM.

Pero un acontecimiento secundario interesante es que Fermi, Pasta y Ulam estaban convencidos de que la termalización debía tener lugar (de hecho, Fermi había publicado una "prueba" a tal efecto), así que realizaron una simulación por ordenador (en Los Álamos, en uno de los primeros ordenadores construidos) para una cuerda vibrante, teniendo en cuenta los efectos de segundo orden (los efectos de primer orden son sólo la ecuación de onda lineal, que en la aproximación de malla finita es una EDO completamente integrable), e intentaron calcular numéricamente la velocidad a la que se produciría la termalización. Lo que observaron, sin embargo, es que el sistema es cuasi-periódico. Este descubrimiento dio origen al estudio moderno de los solitones. Véase el artículo de Palais en el Boletín http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-97-00732-5

Answer 4

Esta pregunta parece demasiado amplia. Tampoco creo que haya que destacar a los físicos, porque todo tipo de argumentos heurísticos pueden salir mal, por no mencionar que, al igual que los matemáticos, los físicos se corrigen a sí mismos y a los demás todo el tiempo.

Dicho esto, muy en la línea del ejemplo de OP, pero equivocado: Conjetura de Kelvin sobre los panales de área mínima que fue refutado por Weaire y Phellan. También, Embalaje cerrado y espuma de H.S.M. Coxeter ofrece amplias pruebas en un contexto estrechamente relacionado con los panales estadísticos. El propio Coxeter dio dos respuestas diferentes para el número medio de caras ( $13.39$ y $13.56$ ¡)! A pesar de la trabajo reciente de MacPherson y Srolovitz, la parte matemática de la historia está aún lejos de estar completa.

Answer 5

Creo que la teoría de los nudos fue iniciada por los físicos del siglo XIX (Lord Kelvin fue uno de los iniciadores) basándose en la suposición de que los átomos tienen que ser nudos en el éter. Comenzaron a a tabular los nudos con la esperanza de arrojar luz sobre la tabla periódica.

La física era una basura, pero no las matemáticas.