parte 1)
Las formas diferenciales enfoque es en efecto muy potente, lo que Hestenes señala en su "De Álgebra de Clifford Geométricos de Cálculo" es que para dar un tratamiento completo de la geometría diferencial de colectores que necesita de varias estructuras. En el libro podrás encontrar una alternativa. El punto de partida (como se señaló anteriormente) es la noción de un vector colector.
Un vector de colector es un conjunto abstracto contenida dentro de un infinito dimensional álgebra abstracta. Una puede tener diferentes interpretaciones.
Hay elementos especiales de esta álgebra llamados vectores y otros llamados pseudoscalars. El conjunto de elementos que definen un vector de colector son un conjunto de vectores. Estos vectores generan el espacio de la tangente que no son parte del conjunto. Este es costumbre, uno a menudo se invoca la tangente espacios en los colectores. Observe que los vectores que definen el vector de colector y de los vectores que forman el espacio de la tangente son muy diferentes. Para la visualización de los efectos de los elementos de un vector colector son llamados "puntos". El espacio tangente a un punto genera una tangente álgebra, esta álgebra contiene UN elemento llamado su pseudoscalar.
La función I_m(x), que es pseudoscalar valores y toma como argumentos "puntos" del vector colector caracteriza el vector de colector. Si esta función no es diferenciable, entonces se dice que el vector de colector es diferenciable. Si es así toda la geometría diferencial de un vector colector puede llevarse a cabo utilizando sólo I_m(x). Aquí m es la dimensión de la tangente espacios, esto también define la dimensión del vector de colector.
Así que la idea detrás de la definición es la siguiente, si usted tiene un colector de sus puntos de falta algebraica de la estructura y por lo que uno se impone a otras estructuras como sea necesario. Por otro lado, si usted comienza con un vector de colector que es algebraicamente rico entonces no hay más estructuras son necesarios más adelante. El colector puede ser definida como un espacio que es isomorfo a un vector de colector. Este isomorfismo pueden ser entendidas como un mero despojo de la estructura algebraica. El colector puede ser tratada como objeto abstracto, pero para los fines para los que fue construida una interpretación geométrica es gratificante. Esto también es cierto para el vector de los colectores.
Algunos pueden pensar que el vector colectores están incrustadas en un espacio Euclídeo o que uno necesita una métrica, pero esto no es cierto. La razón principal podría ser (esto es mi opinión) la nomenclatura de la GA. Por ejemplo, un vector de colector suena como un tipo especial de colector. Otro caso es el interior del producto. Este producto está definido de manera algebraica y no necesita de una métrica. Puede ser interpretado métricamente y así conducir a avances muy importantes, pero es sólo una interpretación. Yo uso "sólo" en el sentido de que una métrica no define ni el álgebra abstracta o cualquier cosa sobre él.
parte 2)
formas diferenciales pueden vivir en la GA marco de la siguiente manera. No hay una única k-vector para cada k-forma. Una correspondencia uno a Uno.
Tomemos el siguiente ejemplo:
suponga que usted va a manipular una expresión antes de la integración. De hacerlo y a la derecha antes de integrar "multiplicar" por un diferencial. Luego de integrar.
Usted puede "multiplicar" por el diferencial desde el principio, pero que no necesitan hacerlo, y probablemente no lo haga. La diferencia entre un k-vector y una k-forma es bastante similar, si ya saben lo que es una k-forma es que se podría pensar de un k-vector como una k-forma sin el diferencial. Si no saben lo que es una k-forma se puede estudiar k-vectores y algunas de sus matemáticas y justo antes de que usted necesita integrar un k-vector que la convierten en una k-forma. (Señalo esto porque es más o menos cómo Hestenes procede en el libro que he mencionado anteriormente, las formas son sólo sea estrictamente necesario cuando la integración se lleva a cabo)
Lo que estoy gráficamente tratando de responder con el ejemplo de arriba es "son estos marcos estrictamente equivalentes?" cuando los valores escalares de las integrales se consideran, la respuesta es SÍ. GA también puede manejar el vector de valores de las integrales o en general multivector integrales. Y Las Integrales De Riemann Son! Fuera de la integración de la teoría de la GA es más general. Por ejemplo el exterior derivado de formas diferenciales tiene una contraparte en GA, ambos son el grado de sensibilización. GA también tiene un grado de reducción de derivados, pero en formas diferenciales esto sólo puede lograrse con una métrica. Al comparar los dos uno podría confundirse y por lo tanto pensar GA también necesita de una métrica para esto, esto no es cierto. Además, la suma de estas grado subida y bajada de los operadores es, en realidad, el fundamental derivado de la GA este derivado es invertible, mientras que el exterior de derivados en general, no.
El general de la respuesta a su pregunta es Álgebra Geométrica (técnicamente Geométricos de Cálculo) es más general.
comentario:
También hay otras alternativas para el Cálculo Geométrico que no utilizan el concepto de vector de colector, que son también en general como para el tratamiento de cualquier colector y el uso de álgebra de Clifford estructuras y no el uso de coordenadas. Algunos otros enfoques que utilizan las coordenadas de aquí y allá, sino también el uso de esta estructura de álgebra y son más generales.
