Teoremas "evidentes" pero difíciles de demostrar

Question

Hay varias afirmaciones matemáticas muy conocidas que son "obvias" pero falsas (como la negación del teorema de Banach-Tarski). Hay muchas más que son "obvias" y verdaderas. Es lógico esperar que una afirmación de esta última categoría sea fácil de demostrar, y normalmente lo es. Me interesan los ejemplos de teoremas que son "evidentes" y se sabe que son ciertos, pero que carecen (o parecen carecer) de demostración sencilla.

Por supuesto, "obvio" y "fácil" son términos difusos que dependen del contexto. El teorema de la curva de Jordan ilustra lo que quiero decir (y motiva esta pregunta). Parece "obvio", en cuanto se entiende la definición de continuidad, que debería cumplirse; de hecho, se cumple; pero todas las demostraciones conocidas son sorprendentemente difíciles.

¿Puede alguien sugerir otros teoremas de este tipo, en cualquier área de las matemáticas?

Answer 1

Si $I_1,I_2,\dots$ son intervalos de números reales con longitudes que suman menos de 1, entonces su unión no puede ser la totalidad de $[0,1]$ . Es bastante común que la gente piense que esta afirmación es más obvia de lo que realmente es. (La "prueba" es la siguiente: basta con trasladar los intervalos de modo que el punto final de $I_1$ es el punto inicial de $I_2$ y así sucesivamente, y eso maximizará claramente la longitud del intervalo que puedes cubrir. El problema es que este argumento funciona igual de bien en los racionales, donde la conclusión es falsa).

Answer 2

$\mathbb R^n$ no es homeomorfo a $\mathbb R^m$ a menos que $m = n$ .

Answer 3

El ejemplo más mortífero que conozco es el Supuesto principal en las dimensiones 2 y 3 (en la dimensión $>3$ es el último teorema "obvio pero falso"). La conjetura principal afirma que dos triangulaciones cualesquiera de un poliedro son combinatoriamente equivalentes, es decir se convierten en isomorfas tras la subdivisión.
La Hauptvermutung es tan obvia que se da por sentada en todas partes, y la mayoría de nosotros aprendemos topología algebraica sin darnos cuenta de esta enorme laguna en sus fundamentos (del enfoque simplicial estándar de los libros de texto). Está implícita cada vez que se afirma que un invariante homotópico de un complejo simplicial, como la homología simplicial, es en realidad un invariante homotópico de un poliedro, a menos que se demuestre también la independencia respecto a la triangulación.
La Hauptvermutung para 2-manifolds fue probada por Radó, y para 3-manifolds por Moïse en 1953. Se trata de un teorema realmente profundo y difícil.
Editar : Esta respuesta está tomada esencialmente de la página 4 de El principal libro de presunciones .

Answer 4

¿Qué te parece el hecho de que una esfera sea la superficie de área mínima que limita un volumen dado? (Por cierto, si no te resulta geométricamente obvio y entiendes un poco de física y de tensión superficial, la redondez de las burbujas es una "prueba").

Answer 5

En Teorema de la curva de Jordan ¡! Por supuesto, en este caso el verdadero problema es el significado de "curva cerrada".