Hipótesis de Riemann a través de la geometría absoluta

Question

Varios de los principales matemáticos (por ejemplo, Yuri Manin) han escrito o dicho públicamente que hay un esquema de un probable natural de la prueba de la hipótesis de Riemann, el uso absoluto de la geometría algebraica sobre el campo de un elemento; a algunos les gusta Mochizuki y Durov está pensando en una posible aplicación de la $\mathbf{F}_1$-geometría a una aún más fuerte abc conjetura. Parece que esta es una de las fuerzas motrices para el estudio de la geometría algebraica sobre$\mathbf{F}_1$, y que el principal obstáculo para la materialización de esta prueba es que la geometría de más de $\mathbf{F}_1$ (cf. MO lo es el campo con uno de los elementos, aplicaciones de algebaric geometría sobre un campo con un solo elemento) es que todavía no desarrollado satisfactoriamente. Incluso a más largo plazo, atacante de la hipótesis de Riemann de fuera de la geometría algebraica de la comunidad, Alain Connes, se ha concentrado recientemente en su colaboración con Katia Consani en el desarrollo de una versión de la geometría sobre $\mathbf{F}_1$.

Podría alguien esquema para nosotros las ideas en el folclore bosquejo de la prueba de la hipótesis de Riemann, a través de la geometría absoluta ? Es la prueba análoga a la Deligne's de la prueba (artículo) de la de Riemann-Weil conjetura (ver wikipedia y MathOverflow pregunta equivalente-declaraciones-de-riemann-hipótesis-en-el-weil-conjeturas) ?

Grothendieck no estaba contento con Deligne de la prueba, ya que se espera que la prueba podría/debería basarse en progreso sustancial en los motivos y el estándar de conjeturas sobre algebraica de los ciclos. Es allí cualquier previsto progreso en la motivic imagen basada en $\mathbf{F}_1$-geometría, o incluso imaginado extensiones de la motivic imagen ?

Answer 1

Advertencia: no soy un experto, pero me voy a dar a este un tiro.

En la analogía entre el número de campos y la función de campo, Riemann zeta funnction es el $\zeta$ función para $\mathrm{Spec} \ \mathbb{Z}$. Tenga en cuenta que $\mathrm{Spec} \ \mathbb{Z}$ es unidimensional. Para demostrar la hipótesis de Riemann debe ser como probar las conjeturas de Weil para una curva, que fue hecho por Weil. Deligne el logro de la era demostrar las conjeturas de Weil para dimensiones superiores variedades que, de acuerdo a esta analogía, debería ser menos relevante.

Me escribió una entrada de blog acerca de uno de los métodos estándar para probar la hipótesis de Riemann para una curva de $X$ (en $\mathbb{F}_p$). Tenga en cuenta que un papel central desempeñado por la superficie de la $X \times X$. Creo que el $\mathbb{F}_1$ enfoque es inventar algún objeto que puede ser llamado $(\mathrm{Spec} \ \mathbb{Z}) \times_{\mathbb{F}_1} (\mathrm{Spec} \ \mathbb{Z})$.

Answer 2

El otoño pasado, hubo una conferencia de Nagoya sobre precisamente esta pregunta (por extraño que parezca, financiado por una "Hipótesis de Riemann" DARPA de la concesión). Desde que estaba asistiendo a una conferencia diferente en la misma universidad, al mismo tiempo, no llegué a ver todas las conversaciones. Sin embargo, Kedlaya resumen de la charla, que se encuentra entre otros en la programación de la página, es bastante informativo.

En esencia, la esperanza de obtener el completada $L$-en función de una $\mathbb{F}_1$-esquema de $X$ por cohomological medios, por la elección de un holomorphic de la familia de los operadores (de forma análoga a $1-q^{-s}\text{Frob}_q$ en el campo de función de ajuste), y tomando el determinante de la acción en el cohomology de $X$ (que se espera que sea infinito dimensional). Esto es, básicamente, una generalización de la Grothendieck-Lefschetz traza fórmula para un cohomology teoría que aún no es conocido. Hay algunos algebraicas evidencia de que algún tipo de de Rham-Witt complejo con una alteración en el infinito es un cohomology teoría, pero no sé lo que la familia adecuada de los operadores debe ser. Me han dicho que no son prometedores sugerencias desde el mundo de los sistemas dinámicos y foliada espacios, y aquí es donde la geometría no conmutativa parece entrar en la imagen.