¿Existe una caracterización teórica en gavilla de una variedad diferenciable?

Question

Estoy pasando por la crisis de ser infeliz con la definición de libro de una variedad diferenciable. Me pregunto si hay una gavilla-enfoque teórico de la que me hará más feliz. En pocas palabras, no es una condición natural de imponer una estructura gavilla $\mathcal{C}^k_M$ a de un espacio topológico $M$ que puede actuar por el requisito de que $M$ segunda contables de Hausdorff?

De fondo

La mayoría de los libros de texto introducir diferenciable colectores a través de mapas y gráficos. Esto tiene la ventaja de ser de hormigón, y la desventaja de que implican una elección arbitraria de atlas, que oculta la propiedad básica que un diferencial de colector "tiene el mismo aspecto en todos los puntos" (para $M$ conectado, sin límite: diffeomorphism grupo actúa transitivamente). Y no es la introducción de coordenadas locales "un acto de violencia"?

Vi una mucho mejor definición de diferenciables colectores en Wikipedia, que no sé un buen libro de texto de referencia para. Esta definición procede a través de las poleas de los locales de los anillos. La definición de Wikipedia dijo:

Una variedad diferenciable (de clase $C_k$) se compone de un par $(M, \mathcal{O}_M)$ donde $M$ es un espacio topológico, y $\mathcal{O}_M$ es una gavilla de locales $\mathbb{R}$-álgebras definido en $M$, de tal manera que el localmente anillado espacio de $(M,\mathcal{O}_M)$ es localmente isomorfo a $(\mathbb{R}^n, \mathcal{O})$.
[$\mathcal{O}(U)=C^k(U,\mathbb{R})$ es la estructura de la gavilla en $\mathbb{R}^n$.]

Hermoso, realmente! Totalmente de coordenadas libre. Pero no hay un General de la Topología de la condición de desaparecidos?

Me confirmó en las matemáticas.SÍ (para asegurarse de que no estaba alucinando) que esta definición es, de hecho, falta la condición de que $M$ segunda contables de Hausdorff. Que de hecho resultó ser el caso, así que he editado la definición de Wikipedia para exigir $M$ a ser de segunda contables de Hausdorff.

¿Por qué estoy todavía no es feliz?

La razón profunda que se requiere una variedad diferenciable a ser paracompact, como por Georges Elencwajg sumamente informativo respuesta, es que paracompactness hace gavillas de $C_M^k$-módulos (quizá $k=\infty$) acíclicos. Esto es puramente una gavilla de la teoría de la propiedad (una condición en la estructura de la gavilla de $M$ más que en $M$ sí), que rápidamente se implica cosas buenas como que cada subbundle de un vector paquete en la $M$ ser un sumando directo. Es este hecho lo suficiente?

Si fuera suficiente para exigir que $\mathcal{O}_M$ ser acíclicos, o tal vez fina, a continuación, el más bonito, más flexible (y, en un extraño sentido, la mayoría de los esclarecedor) definición de variedad diferenciable, sería:

Definición: Una variedad diferenciable (de clase $C_k$) se compone de un par $(M, \mathcal{O}_M)$ donde $M$ es un espacio topológico, y $\mathcal{O}_M$ es un acíclicos gavilla de locales $\mathbb{R}$-álgebras definido en $M$, de tal manera que el localmente anillado espacio de $(M,\mathcal{O}_M)$ es localmente isomorfo a $(\mathbb{R}^n, \mathcal{O})$.

Tal vez la palabra acíclicos debe ser fino. Tal vez suave y acíclicos. Tal vez un poco más, pero aún así algo que puede ser expresada en términos de la estructura de la gavilla.

Pregunta: ¿puedo poner un natural de la gavilla de la teoría de la condición en $\mathcal{O}_M$ (acíclicos? bien?) que se asegura de que $M$ (un espacio topológico) debe ser un segundo contable de Hausdorff espacio? Si no, sería tal condición al menos asegurarse de que $M$ ser una generalizada de variedad diferenciable en algún tipo de sentido útil?

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Actualización

: Esta pregunta que realmente me molesta, así que he empezado una recompensa. Me gustaría reducirlo un poco para hacer más fácil la respuesta:

¿ Acyclicity (o un poco más fuerte que el de la condición) en $\mathcal{O}_M$ de topológico (Hausdorff?) espacio implica paracompactness (o un poco más débil, pero todavía útil condición)?

Hausdorff me molesta también, por supuesto; pero un sheafy caracterización de paracompactness de alguna manera parece que tiene el potencial de ser encantadora y muy esclarecedor.

Answer 1

Definición: "Un suave manifold es un localmente anillado espacio de $(M;C^{\infty})$ que satisface las condiciones:

1. Cada una de las $x \in M$ admite un vecindario $U$, de tal manera que $(U,C^{\infty})$ es isomorfo a $(\mathbb{R}^n,C^{\infty})$ como un localmente anillado espacio.
2. El mundial de las secciones de $C^{\infty}(M)$ puntos separados.
3. La estructura de la gavilla $C^{\infty}$ es fina como una gavilla por primicia de los módulos a través de sí mismo.
4. $C^{\infty}(M)$ tiene más de countably muchos indecomposable idempotents."

Explicaciones:

1) es evidente.

2) significa que, para $x \neq y \in M$ existe $f \in C^{\infty}(M)$ con $f(x)=0$, $f(y) \neq 0$. Esto asegura que el Hausdorff condición una vez que sabemos que los elementos de la $C^{\infty}(M)$ dar lugar a continuas mapas de $M \to \mathbb{R}$. Esto es como sigue: $f \in C^{\infty}(M)$ da, $x \in M$. Elige un gráfico de $h:U \to \mathbb{R}^n$; en virtud de este gráfico, $f|_U$ corresponde a una función suave en $\mathbb{R}^n$, cuyo valor en $h(x)$ no depende de la elección de la carta. Llamar a este valor $f(x)$. Comprobación de la continuidad de $x \mapsto f(x)$ se puede hacer en los gráficos.

3.) Con esto quiero decir que para cada abierto de la cubierta $(U_i)$, hay una partición de la unidad $\lambda_i$ con las propiedades habituales y que $\lambda_i$ es un mapa de $C^{\infty} (M)$-módulos. Un argumento estándar muestra que $\lambda_i$ está dada por la multiplicación con una función suave. Por lo tanto, en el espacio de $M$ es paracompact.

4.) Un idempotente $p\neq 0$ en un anillo conmutativo $A$ se llama indecomposable si

$$p=q +r; r^2 =r; q^2 =p , q \neq 0 \Rightarrow p = q$$

sostiene. Indecomposable idempotents en $C^{\infty}(M)$ corresponden a los componentes conectados. Por lo tanto, la condición 4 significa que $M$ tiene sólo countably muchos de los componentes conectados.

Estas condiciones, junto implica que $M$ es Hausdorff y la segunda contables, debido a que un localmente euclídeo, conectado y paracompact espacio de Hausdorff es segundo contable, ver Gauld, "propiedades Topológicas de los colectores", Teorema 7 (ver http://www.jstor.org/stable/2319220 ). Paracompactness en sí no garantiza la segunda countability, ver $\mathbb{R}$ con la topología discreta.

Sin embargo, creo que la gavilla de la teoría y localmente anillado espacios son el mal de software de geometría diferencial y topología diferencial.

Answer 2

Desde otra perspectiva, pensar acerca de las definiciones de "complejo múltiple" o "real de la analítica de colector". Normalmente se utiliza atlas para esto, la imposición de la Hausdorff y paracompactness condiciones por separado. Usted puede repetir el atlas parte de la definición en la gavilla de idioma, pero no puedes esperar para obtener el resto de esa manera, puede usted? Quiero decir, usted no puede conseguir el paracompactness de las propiedades como acyclicity o flasqueness, porque no tienen esas propiedades.

Por supuesto, siempre se puede volver a caer en "un complejo múltiple es un verdadero colector además de los siguientes extra estructura", pero que parece ir en contra del espíritu de la pregunta.

En una nota relacionada, por supuesto, el "básico" de la propiedad de transitividad de la automorphism grupo falla en el complejo-analítica caso. (Consulta: ¿qué acerca de la real analítica caso?)

EDICIÓN De los comentarios está claro que yo no he expresado mi mismo claramente. Déjame intentarlo de nuevo.

La definición habitual de "suave colector", dice (1) el espacio está equipado con un atlas en el que todos los gráficos son pares suavemente compatible, o más bien una clase de equivalencia de esos atlas, o si usted prefiere una máxima tal atlas, (2) el espacio es paracompact, (3) el espacio es Hausdorff.

Daniel le gusta la opción de reemplazar (1) por el equivalente lógicamente:

(1) " el espacio está equipado con una gavilla de álgebras de tal manera que cada punto tiene un nbhd tal que ...

Se preguntaba si él puede, simultáneamente, reemplazar (2) por algo más de exigencia en la gavilla (algo que implica acyclicity), ya sea para obtener un equivalente de definición o un poco más débil, pero aún noción útil, y él se ofrece como prueba la idea de que la utilidad de (2) puede ser expresada en gavilla idioma. No estoy ofreciendo una opinión acerca de eso.

Sólo estoy señalando lo siguiente: Si usted ha tenido éxito en la reformulación de la definición de fluido del colector en este estéticamente agradable manera, entonces usted puede ser que desee hacer lo mismo para la definición de los complejos de la analítica de colector. Pero te quedas atascado en el hecho de que la estructura de la gavilla no es acíclico.

Así que tal vez sería caer de nuevo en la descripción de un complejo colector de una suave colector plus extra de la estructura.

Pero espera, ¿qué pasa topológica de los colectores? No nos gustan a ser paracompact, también? Por las mismas razones que en el caso real. Parece estéticamente derecho a enfatizar el anillo de funciones continuas cuando se trata con topológica de los colectores?

Por cierto, ¿por qué queremos que los complejos colectores de ser paracompact? Probablemente para permitir el uso ocasional de $C^\infty$ métodos.

Oh, ¿y qué acerca de un modelo lineal por tramos de colectores? Aquí (y también, por cierto, para $C^k$ colectores para $k\ge 1$ finito), no existe una gavilla por primicia de los anillos de los involucrados. Pero existe la opción de utilizar los gráficos, donde la compatibilidad de gráficos depende de la noción de PL homeomorphism entre subconjuntos abiertos de $\mathbb R^n$). Si no también asumir paracompactness y Hausdorff, entonces no tendrá triangulaciones. Hay algunos sheafy manera de hablar de esto?

OK, he paseado, y probablemente sustituyó a uno claro cosa por varios otros claro las cosas.

Answer 3

Querido Daniel, deberías echar un vistazo al bonito libro "Cálculo global" de S. Ramanan.

De la revisión del libro de John Miller: "Este es un curso decididamente individual sobre análisis y geometría en múltiples. El libro comienza introduciendo múltiples lisos como espacios equipados con gavillas de funciones diferenciables. Aunque este enfoque es inusual en un libro de texto, funciona bastante bien ... "

Answer 4

Esto es más un comentario largo que una respuesta, pero los comentarios respecto a la pregunta de Hausdorff o no Hausdorff activa esta...

La segunda contables condición es ciertamente deseable por muchas razones (la incrustación de teoremas, etc), pero hay ejemplos destacados de la no-Hausdorff colectores en la geometría diferencial. Si tienes una Mentira algebroid, es decir, un vector paquete de $E \longrightarrow M$ tales que las secciones de $E$ están equipados con una Mentira soporte que satisface la regla de Leibniz a lo largo de un paquete de mapa de $E \longrightarrow TM$ (el ancla), entonces existe una noción de la correspondiente Mentira groupoid la integración de este. Los obstáculos para la existencia, se han descrito en un hermoso papel por Crainic y Fernandes. Sin embargo, el resultado es una Mentira groupoid normalmente no es Hausdorff, pero el no Hausdorffness (palabra) no es tan malo. Las fibras de origen/destino, así como la base de la Mentira groupoid son todos Hausdorff, es sólo la forma en que están pegados juntos, lo que hace que no se Hausdorff.

Así que esto no responde a tu pregunta, pero creo que una respuesta también debe tener cuidado de este tipo de situación como esta es muy importante en muchas áreas de la geometría diferencial (Mentira groupoids están en todas partes...).

Answer 5

¿Por qué quieres que los colectores sean el segundo Hausdorff contable? Excluye líneas largas y la línea con doble origen. Puede desarrollar la mayor parte de la teoría sin estas condiciones. Sin embargo, no tendrá metrizabilidad.