Vacío sexy ....${{{{{{}}}}}}$

Question

He incluido esta nota de pie de página en un documento en el que he mencionado que el número de particiones de un conjunto vacío es 1 (todos los miembros de cualquier partición es un conjunto no vacío, y por supuesto, cada miembro del conjunto vacío es un conjunto no vacío):

"Tal vez como resultado del estudio de la teoría de conjuntos, me sorprendió cuando me enteré de que algunos respetables combinatorialists considerar estas cosas como esta a la mera convención. Uno de ellos dijo que el caso podría hacerse para establecer el número de particiones a 0 al $n=0$. Por contraste, Gian-Carlo Rota escribió en \cite{Rota2}, p.~15, que "el tipo de razonamiento matemático que los físicos encontrar insoportablemente pedante' no sólo conduce a la conclusión de que la primaria simétrica de la función en ninguna de las variables es 1, pero directamente desde allí a la teoría de la característica de Euler, de modo que " este tipo de razonamiento no pagar.' La única otra muy sexy ejemplo que conozco es el de estadística aplicada: la no-central de distribución de la chi cuadrado con cero grados de libertad, a diferencia de su 'central' contraparte, no es trivial."

El citado documento fue: G-C.~Rota, la Probabilidad Geométrica, Mathematical Intelligencer, 20 (4), 1998, pp 11--16. El papel en el que mi nota de pie de página que aparece es la primera que se puede ver aquí.

Pregunta: ¿Qué otras realmente llamativos ejemplos hay?

Algunas observaciones:

• Desde un punto de vista, el concepto de vacío verdad es tonta. Es contradictorio pero cierto proposición de que Minneapolis está en una latitud mayor de Toronto. "Ex falso quodlibet" (o lo que sea la frase en latín es) así que, si usted cree que Toronto es una ciudad más al norte de la configuración regional de Minneapolis, que te llevará a todo tipo de errores como $2 + 2 = 5,$ etc. Pero eso es una tontería.

• Desde otro punto de vista, en su propio contexto matemático, tiene perfecto sentido.

• La gente usa los ejemplos de proposiciones acerca de todos los volcanes de oro puro, etc. Que mala pedagogía y malo en otras formas. Lo que si me pregunto si todos los teléfonos celulares en el aula han sido apagado? Si no hay teléfonos celulares en la sala (que es más realista que la de los volcanes de oro, no??) entonces la respuesta correcta es "sí". Eso es un buen ejemplo, que muestra, aunque sólo sea en una pequeña medida, la utilidad del concepto cuando se utiliza correctamente.

• Yo no creo que sea una mera convención que el número de particiones de un conjunto vacío es 1; de ello se deduce lógicamente de algunas cosas básicas de la lógica. Aquellos que no hacen sentido en algunos contextos (ver "Minneapolis", "Toronto", etc., por encima), pero en realidad el único valor de verdad que puede ser asignado a $\text{"}F\Longrightarrow F\text{''}$ o $\text{"}F\Longrightarrow T\text{''}$ que hace que sea posible para llenar la tabla de verdad sin conocer el contenido de la proposición falsa (y satisface los otros desiderata?) es $T.$ Eso es un hecho cuya verdad no depende de los convenios.

Answer 1

Cuántos abra las cubiertas hace el vacío topológica del espacio tienen? No uno, ni ninguno, sino dos: el vacío de la cubierta de la $\varnothing$, ya que su unión es $\bigcup\varnothing=\varnothing$, y la cubierta de la $\{\varnothing\}$, desde su unión también es $\bigcup\{\varnothing\} =\varnothing$.

Esto viene cuando se utilizan los Grothendieck plus-construcción de sheafify un presheaf. Aplicar la construcción de la (nonseparated) presheaf $P:\mathcal{O}(X)^{op}\to \mathrm{Set}$ el envío de cada conjunto abierto para el conjunto de $A$, con $|A|\geq 2$. A continuación, la presheaf $P^+:\mathcal{O}(X)^\mathrm{op}\to\mathrm{Set}$ está de acuerdo con $P$ en cada conjunto abierto con la excepción de $\varnothing\subseteq X$ donde $P^+(\varnothing)$ es ahora un solo elemento set $\{*\}.$ Esto es debido a la coincidencia de las familias para la cubierta $\{\varnothing\}$ de % de $\varnothing$ (de los cuales hay uno para cada una de las $a\in A$) son iguales a la singular coincidencia de la familia para la refinación de la cubierta $\varnothing\subseteq\{\varnothing\}$ de %de $\varnothing$.

Este ejemplo elemental viene de "Poleas en la Geometría y la Lógica", de Moerdijk y MacLane.

Answer 2

Hay una gran diferencia entre las declaraciones tales como, por un lado, "el vacío de la suma es cero" o "0!=1" y en el otro lado "1 no es un número primo". En mi opinión, esto último implica una convención (es decir, una elección), pero el primero no.

La primera definición de un primo que viene a la mente (y el vino históricamente, supongo) es "un número natural sin divisores excepto el 1 y sí mismo". Esto es perfectamente razonable noción, pero conduce a la desagradable contorsiones cuando uno intenta estado el primer teorema de la descomposición, incluyendo la singularidad. Un fenómeno similar se explica por qué una irreductible espacio está vacío, por definición. En estos casos, la definición ha sido adaptada a la necesidad de llegar limpiador de declaraciones. La cuestión es "el espacio vacío conectado?" cae en la misma categoría; me resulta extraño que el más común de la convención (que sí) no coincide con los otros dos.

En el caso de que el vacío suma, 0 es la única concebible valor, la otra opción de ser "indefinido": un matemático hostil para el conjunto vacío podría definir finito (no vacío) de las sumas por inducción, a partir de la uno-plazo de caso y dejar la caja vacía de sentido. Esto no conducirá a contradicciones, sólo un montón de trampas en las pruebas porque cada vez que usted toma la suma de algunas conjunto finito de números que usted primero tiene que comprobar que no está vacío, o tratar la caja vacía por separado.

Y por supuesto, si ejecuta el inductivo definición de "hacia atrás" desde el 1 de término a 0 plazo inmediato encontrar el valor correcto para el vacío de la suma. Esta es una manera eficaz para convencer a los estudiantes.

Answer 3

Sobre los reales,$\sup \emptyset = -\infty$ y$\inf \emptyset = \infty$.

Answer 4

Un ejemplo elemental, pero pedagógicamente agradable: un estándar de inducción temprana de prueba ejemplo es que puede baldosa cualquier $2^n \times 2^n$ plaza con una unidad de plaza eliminado, el uso de la L-forma de las baldosas de la unidad tres plazas cada uno.

Sorprendentemente (para mí), muchos libros de texto de tomar el caso base como $n=2$. El mejor uso de $n=1$. Pero la versión del Libro, aunque, sin duda comienza a $n = 0$!

(Por supuesto, entiendo que la pedagogía de la no empieza en 0: es generalmente el mejor para hacer un punto a la vez. Tratando de usar este simple ejemplo para enseñar acerca de la inducción y la vacuidad, simultáneamente, confunden la mayoría de los estudiantes. Pero cuando no se necesita para la primera, funciona muy bien para esto último, creo!)

Answer 5

(1) El valor de alguna gavilla en el conjunto vacío es el terminal de objeto. (Considere el encolado condición para el vacío de la apertura de la tapa del conjunto vacío.)

(2) Si a→B es una de morfismos de conjuntos, entonces podemos definir el factor de la serie B/A. Tenemos B/∅=B⊔*, donde * es un elemento del conjunto. (Considere la izquierda adjunto de la olvidadizo functor de la categoría de conjuntos de punta a la categoría de morfismos de conjuntos.)

(3) a Veces la norma de un morfismos de la normativa de los espacios f: X→Y se define como sup_{x∈X: x≠0} ‖f(x)‖/‖x‖ o como sup_{x∈X: ‖x‖=1} ‖f(x)‖. Esto no funciona para X=0. La definición correcta es ‖f‖=sup_{x∈X: ‖x‖≤1} ‖f(x)‖. También funciona para seminorms.

(4) El cero del anillo es la terminal de objeto en la categoría de unital anillos. No es la integral de dominio, ni un anillo local o un campo.

(5) El vacío del colector no está conectado. Su número de componentes conectados es 0. (Piense en el siguiente teorema: Cada colector es el subproducto de un único la familia de colectores conectados. La cardinalidad de la familia es igual al número de componentes conectados.)

(6) en los Ejemplos de la matemática elemental abundan. El vector cero del espacio tiene un vacío, y el único endomorfismo A. La matriz de Una en la base única está vacío y el determinante de a es 1. No es exactamente una función del conjunto vacío a cualquier otro conjunto (la función vacía). El cero es un número natural, 0^0=1, la suma de los vacíos de la familia de los números es 0, el producto de los vacíos de la familia de los números es 1, el producto o el subproducto de un vacío de la familia de objetos en una categoría es el terminal o el objeto inicial de esta categoría, el monoidal producto de los vacíos de la familia de objetos en una categoría monoidal es el monoidal unidad.