¿Qué tan pequeña puede ser una suma de unas pocas raíces de unidad?

Question

Deje $n$ ser un gran número natural, y dejar que $z_1, \ldots, z_{10}$ ser (dicen) diez $n^{th}$ raíces de la unidad: $z_1^n = \ldots = z_{10}^n = 1$. Supongamos que la suma de $S = z_1+\ldots+z_{10}$ es distinto de cero. Cómo lata pequeña de $|S|$ ser?

$S$ es un entero algebraico en la cyclotomic campo de la orden de $n$, de modo que el producto de todos sus Galois conjugados tiene que ser un no-cero racional entero. El uso de la absolutamente crudo que la estimación de la magnitud de un no-cero racional entero es al menos uno, esto le da una exponencial límite inferior en $S$. Por otro lado, el estándar probabilístico heurística sugieren que no debe ser un polinomio límite inferior, tales como $n^{-100}$, para $|S|$. (Ciertamente un volumen de embalaje argumento muestra que uno puede hacer $S$ tan pequeño como, por ejemplo, $O(n^{-5/2})$, aunque no está claro para mí si esta debe estar cerca de la verdad obligado.) Es un obligado conocido? Presumiblemente, uno necesita un poco algebraicas número teórico de los métodos para atacar este problema, pero la única técnicas sé de ir a través de la teoría de Galois, y así dar forma exponencial buenos límites.

Por supuesto, no hay nada especial sobre el número de $10$ aquí; uno puede frase de la pregunta para cualquier otra suma fija de raíces, aunque la pregunta se degenera cuando hay cuatro o menos raíces en suma.

Answer 1

En este documento se habla acerca de este problema para 5 en lugar de 10 raíces.

http://www.jstor.org/stable/2323469

EDIT: En vista de Todd Trimble comentario, he aquí un resumen de lo que está en el papel.

Deje $f(k,N)$ ser el menor valor absoluto de un valor distinto de cero suma de $k$ (no necesariamente distintos) $N$-th raíces de la unidad. Entonces

$f(2,N)$ es asintótica a $cN^{-1}$ donde $c$ es $2\pi$ incluso $N$, $\pi$ por extraño $N$,

$f(3,N)$ es asintótica a $cN^{-1}$ donde $c$ es $2\pi\sqrt3$ para $N$ divisible por 3, $2\pi\sqrt3/3$ lo contrario,

$f(4,N)$ es asintótica a $cN^{-2}$ donde $c$ es $4\pi^2$ incluso $N$, $\pi^2$ para $N$ impar,

$f(k,N)>k^{-N}$ para todos los $k,N$,

$f(2s,N)<c_sN^{-s}$ para $N$ a y $s\le10$,

$f(k,N)<c_kN^{-[\sqrt{k-6}]-1}$ para $N$ a y $k>5$, y

Si $N$ es el doble de un número primo, y $k<N/2$, entonces no existe $k'<2k$ tal que $f(k',N)\le2k2^{k/2}\sqrt{k!}N^{-k/2}$.

El único resultado en el papel para 5 raíces de la unidad (el trivial) $f(5,N)>5^{-N}$, pero se sugiere que quizá $f(5,N)>cN^{-d}$ para algunos $d$, $2\le d\le3$, y algunos $c>0$.

Answer 2

Desde un punto de vista computacional, probablemente se pueda usar el algoritmo LLL para obtener soluciones bastante buenas: de hecho, considere la sub-red de$\mathbb Z^{n+2}$ abarcada por vectores integrales de la forma$(0,\dots,0,1,0,\dots,\lfloor A\cos(2\pi k/n)\rfloor,\lfloor A\sin(2\pi k/n)\rfloor)$. El ajuste fino del número real$A$ (que debe elegirse no demasiado pequeño) y la búsqueda de un vector corto en esta red proporciona soluciones. El uso de límites conocidos para los empaques de celosía produce quizás algunos límites superiores útiles (pero los cálculos son probablemente un poco complicados).

Answer 3

Para ampliar la Prouhet-Quédate-Escott problema, se trata de encontrar un (multi)-conjuntos de números enteros $A$ e $B$ con $\sum_Aa^k=\sum_Bb^k$ para $0 \le k \le m-1$. A continuación, $|A|=|B|$ y, quizás, uno siempre puede ponerse $|A|=m$, aunque nadie sabe realmente. Esto se traduce en formas de elegir los $n=2|A|$ raíces Enésimas de la unidad (al menos para incluso N): se toma el conjunto de $S$ que consiste en la $n$ raíces $\alpha^a$ e $-\alpha^b$ donde $\alpha=e^\frac{2\pi i}{N}$. Tenga en cuenta que -1 es una potencia de $\alpha$. No estoy seguro de qué hacer al $n$ y/o $N$ es extraño pero a otras personas, probablemente no. El avance rápido sobre algunos detalles, uno termina con un polinomio de la forma $(\alpha-1)^kg(\alpha)$ y que el primer factor que da al conjunto un tamaño de $O(\cos(\frac{2\pi}{N})^k)=O(N^{-k})$, La constante es fácilmente computable, aunque grande, y que requiere de una bastante grande, $N$ para ser exactos (para n=10 tengo varios dígitos precisión de N=1000, aunque tal vez N=100 estaba bien). Una referencia que me gusta es P. Borwein, C. Ingalls, La Prouhet-Quédate-Escott Problema revisitado.

La referencia al artículo de G. Myerson dice (si mi lectura rápida es correcta) de que aproximadamente igual espaciado alrededor del círculo unitario puede ser$O(N^{-1})$, pero no mejor, pero que nadie sepa de la construcción en general cual es mejor. Es curioso que la solución esbozada anteriormente no tiene ningún uso especial de que el número teórico de las propiedades de $N$ a excepción de la paridad. Tal vez (algunas de) las mejores soluciones (para un número par de raíces) involucrar a las raíces de 2 gajos que son casi antipodal. Para 4 raíces, es óptimo para tomar 1 dos veces y otras dos raíces, una a cada lado de -1.

Answer 4

G. Myerson del argumento puede ser utilizado de forma recursiva para establecer los límites de la suma de $N>10$ $n$-th raíces de la unidad. Por ejemplo, el inicio de $N=10$. Nos deja denotar $\omega=\exp\frac{2i\pi}{n}$. GM de la construcción utiliza sólo las raíces $\omega^k$ para $1\le k\le18$ e $\frac{n}{2}\le k\le\frac{n}{2}+19$ (decir que $n$ es incluso). La correspondiente suma es $z_n\ne0$ tal que $|z_n|\le Cn^{-5}$. Ahora bien, decir que el $n$ es un múltiplo de $38$ ($n=38m$) y cubramos el plano complejo por $m$ distintos sectores de ángulo de $\frac{\pi}{m}$. Cada sector puede ser utilizado para construir un otro punto, y el $m$ puntos obtenidos de esa manera de forma regular $m$-agon. Aquí es el de la inducción argumento: podemos suma $10$ estos puntos con el fin de obtener un punto de $z'$ con $z'=z_nz_m$. Ahora, $z'$ es la suma de $N'=100$ diferentes $n$-th raíces de la unidad, y hemos $$|z'|\le Cn^{-5}\left(\frac{n}{38}\right)^{-5}=C'n^{-10}.$$ Más generalmente, si $N=10^r$, obtenemos una suma de $N$ $n$-th raíces de la unidad ($n$ un múltiplo de $38^{r-1}$) de la forma $Cn^{-\alpha}$ con $\alpha=5r=5\log_{10}N$.

Edit. Descripción alternativa (pero este es el mismo de la construcción). Deje $J$ el conjunto de exponentes utilizados por GM al $N=10$, que es $J=\{1,5,9,17,18\}\cup\left(\frac{n}{2}+\{2,3,11,15,19\}\right)$. Para $N=100$ e $n$ un múltiplo de $38$, conjunto $$z':=\sum_{i\in J}\sum_{j\in J}\omega^{i+38j}.$$ Si $n$ es lo suficientemente grande, esta es una suma de distintos $n$th raíces de la unidad, de tal manera que $z'=z_nz_m$.

Answer 5

Esto no es una respuesta a la pregunta, pero creo que es un poco relativa, y aunque la cuestión trata cíclico de los grupos, este resultado se ocupa generalizado de caracteres arbitraria de los grupos finitos. Después de varios intentos, he conseguido probar hace un par de años que si $G$ es un grupo finito con el mayor de su irreductible carácter grado $d$, entonces siempre tenemos $\sum_{ 1 \neq x \in G} |\theta(x)|^{2} \geq \frac{|G|}{d} - 1$ siempre $\theta$ es un carácter generalizado (ie $\mathbb{Z}$-combinación de irreductible caracteres) aparte de un múltiplo de la regular carácter de $G$ (el personaje toma el valor de $|G|$ a $1_{G}$ e $0$ sobre todos los que no son elementos de identidad). He esperado siempre, pero realmente nunca lo logrado hasta la fecha, para encontrar una buena aplicación de este.

Tenga en cuenta que cuando se $G$ es Abelian, esto le da (sin Galois theory) que la media al cuadrado (absoluta) el valor de una generalizada de caracteres (excluyendo el carácter regular y sus múltiplos) sobre la no-identidad de los elementos es al menos uno. Pero cuando $G$ no es Abelian, el resultado da que la media de la plaza (absoluta) el valor de un carácter generalizado $\theta$ (con excepción de un múltiplo del carácter regular) podría estar más cerca de a $\frac{1}{d}$, donde $d$ es el grado máximo de un complejo irreductible carácter de $G$ (nota, sin embargo, que $\theta$ pueden desaparecer en algunos de los elementos). La igualdad en el límite ocurre cuando $G$ es Abelian, o cuando $G$ es un Frobenius grupo Abelian Frobenius núcleo de índice $d$ para un adecuado generalizada de caracteres $\theta.$